Нужно ли оформлять какие-либо документы или права на деятельность репетитора? Если нужно, то какие?

не обязательно. Можно обычный гражданско-правовой договор

Перечень видов деятельности, по которым можно перейти на патент, установленный ст. 326.25.1 НК РФ, ограничен. В него, в частности, включены сдача в аренду собственного недвижимого имущества (в том числе квартир и гаражей) , репетиторство, услуги по редактированию и переводу.
Годовая стоимость патента равна сумме налоговой ставки (6%), умноженной на сумму потенциально возможного годового дохода. Величину потенциально возможного дохода по каждому виду предпринимательской деятельности определяют субъекты Российской Федерации.

Во-первых, ст. 326.25.1 - такой нет в НК РФ, нав-е, вы имели ввиду ст. 346.25.1. , во торых забыли написать, что для исполь-я патента необходимо зарегистрироваться в качестве индивидуального предпринимателя. А также о том, что "Решение о возможности применения индивидуальными предпринимателями упрощенной системы налогообложения на основе патента на территориях субъектов Российской Федерации принимается законами соответствующих субъектов Российской Федерации". Т. е надо знать - возможно ли использование этого спец. налог. режима в дан. субъекте? И вообще человек не о налогообложении спрашивал, а о том - какие ему нужны документы.
Я считаю, что если вы зан-сь реп-м нерегулярно, от случая к случаю, либо неоф-но по знакомым - то ничего не надо, а если на пост. основе, даете рекламу, то это уже предпр. деят-ть, соотв-но необх-мо рег-ся в кач-ве ИП и платить налоги