Кто имеет право ознакомиться с делом в суде?

Лица, участвующие в деле.
Статья 343. Действия суда первой инстанции после получения кассационных жалобы, представления

1. Судья после получения кассационных жалобы, представления, поданных в установленный статьей 338 настоящего Кодекса срок и соответствующих требованиям статей 339 и 340 настоящего Кодекса, обязан:
1) не позднее следующего дня после дня их получения направить лицам, участвующим в деле, копии жалобы, представления и приложенных к ним письменных доказательств;
2) известить лиц, участвующих в деле, о времени и месте рассмотрения жалобы, представления в кассационном порядке в верховном суде республики, краевом, областном суде, суде города федерального значения, суде автономной области, суде автономного округа, окружном (флотском) военном суде. О дне рассмотрения жалобы, представления в Верховном Суде Российской Федерации лица, участвующие в деле, извещаются Верховным Судом Российской Федерации;
3) по истечении срока, установленного для кассационного обжалования, направить дело в суд кассационной инстанции.
2. До истечения срока, установленного для кассационного обжалования, дело никем не может быть истребовано из суда. Лица, участвующие в деле, вправе знакомиться в суде с материалами дела, поступившими кассационными жалобой, представлением и возражениями относительно жалобы, представления.

Заявить такое ходатайство Вы конечно можете, но суд удовлетворит его только в том случае, если посчитает, что "решение того процесса" имеет к рассматриваемому делу хоть какое-то отношение

Правильно, только так.

Ходатайство заявить устно, оформить в письменном виде и обосновать целесообразность истребования данного документа.

Да только истребовать в суде по ходатайству.

Заявите ходатайство устно, дело будет отложено, пока доказательство не будет получено