Нужно ли доказывать родство если есть завещание?...

Нет, не нужно, но можно. Платить нотариусу будете меньше, если вы в родственных отношениях с умершим.
Очень многие делают завещания на чужих совсем людей и ни какого родства нет. (это я к предыдущему ответу)

Завещать можно любому, не родственнику тоже, и даже юрлицу. Налога на наследство сейчас нет. Не нужно. Разве что речь идет об обязательной доле в наследстве.

Читаем ГК РФ
Статья 1116. Лица, которые могут призываться к наследованию
1. К наследованию могут призываться граждане, находящиеся в живых в день открытия наследства, а также зачатые при жизни наследодателя и родившиеся живыми после открытия наследства.
К наследованию по завещанию могут призываться также указанные в нем юридические лица, существующие на день открытия наследства.
2. К наследованию по завещанию могут призываться Российская Федерация, субъекты Российской Федерации, муниципальные образования, иностранные государства и международные организации, а к наследованию по закону - Российская Федерация, субъекты Российской Федерации, муниципальные образования в соответствии со статьей 1151 настоящего Кодекса.

Как видите при наследовании по завещанию родство не упоминается вообще.
Иной вопрос, если имеются основания применения ст. 1149. "Право на обязательную долю в наследстве". Тогда конечно необходимо предоставление определенных документов, подтверждающих что наследник обязательной доли является несовершеннолетним или нетрудоспособным ребенком наследодателя, его нетрудоспособным супругом и родителем, а также нетрудоспособным иждивенцем наследодателя.

Если завещали Вам, то нет, потому что завещать можно кому угодно, необязательно родственникам. А вот если Вы хотите оспорить завещание и получить что-то против воли завещателя, но по праву родства с последним - тогда да, и только через суд.