Может ли, имеет ли законные основания, предприятие требовать в суде возмещения морального ущерба с гражданина?

тут надо уточнить, моральным ущербом называете моральный вред?
http://www.zakonrf.info/gk/151/
http://www.consultant.ru/popular/gkrf1/5_22.html
моральный вред это физические или нравственные страдания (см. статью 151 по ссылке) . разумеется у организации, предприятия таких страданий быть не может.

Нет, ибо моральные страдания привилегия физического лица, а уж никак не юридического.

Статья 151 ГК РФ. Компенсация морального вреда

Если гражданину причинен моральный вред (физические или нравственные страдания) действиями, нарушающими его личные неимущественные права либо посягающими на принадлежащие гражданину другие нематериальные блага, а также в других случаях, предусмотренных законом, суд может возложить на нарушителя обязанность денежной компенсации указанного вреда.
При определении размеров компенсации морального вреда суд принимает во внимание степень вины нарушителя и иные заслуживающие внимания обстоятельства. Суд должен также учитывать степень физических и нравственных страданий, связанных с индивидуальными особенностями лица, которому причинен вред.

Статья 1100 ГК РФ. Основания компенсации морального вреда

Компенсация морального вреда осуществляется независимо от вины причинителя вреда в случаях, когда:
вред причинен жизни или здоровью гражданина источником повышенной опасности;
вред причинен гражданину в результате его незаконного осуждения, незаконного привлечения к уголовной ответственности, незаконного применения в качестве меры пресечения заключения под стражу или подписки о невыезде, незаконного наложения административного взыскания в виде ареста или исправительных работ;
вред причинен распространением сведений, порочащих честь, достоинство и деловую репутацию;
в иных случаях, предусмотренных законом.

не все так просто и однозначно.
конечно, это своего рода фикция - моральный вред у юрлица, но компания вправе, например, его взыскать в случае распространения сведений, порочащих деловую репутацию:
Постановление Пленума Верховного Суда РФ от 20.12.1994 №10
5. Правила, регулирующие компенсацию морального вреда в связи с распространением сведений, порочащих деловую репутацию гражданина, применяются и в случаях распространения таких сведений в отношении организации (пункт 6 статьи 7 Основ гражданского законодательства Союза ССР и республик по правоотношениям, возникшим после 3 августа 1992 г. , пункт 7 статьи 152 первой части Гражданского кодекса Российской Федерации по правоотношениям, возникшим после 1 января 1995 г.).