Каков срок исковой давности при возмещении морального вреда?

Требования, на которые не распространяется срок искоой давности указаны ст. 208 ГПК РФ
http://www.consultant.ru/popular/gkrf1/5_30.html#p1921
Статья 208. Требования, на которые исковая давность не распространяется
Исковая давность не распространяется на:
требования о защите личных неимущественных прав и других нематериальных благ, кроме случаев, предусмотренных законом;
требования вкладчиков к банку о выдаче вкладов;
требования о возмещении вреда, причиненного жизни или здоровью гражданина. Однако требования, предъявленные по истечении трех лет с момента возникновения права на возмещение такого вреда, удовлетворяются за прошлое время не более чем за три года, предшествовавшие предъявлению иска;
требования собственника или иного владельца об устранении всяких нарушений его права, хотя бы эти нарушения не были соединены с лишением владения (статья 304);
О нематериальных благах, зкомпенсации морального вреда смотрите статьи 150, 151 ГК РФ
http://www.consultant.ru/popular/gkrf1/5_22.html#p1449
Удачи
другие требования в случаях, установленных законом.

Исходя из определения морального вреда как нарушение нематериальных благ, а они определены статьёй 150 ГК РФ:
Статья 150. Нематериальные блага
1. Жизнь и здоровье, достоинство личности, личная неприкосновенность, честь и доброе имя, деловая репутация, неприкосновенность частной жизни, личная и семейная тайна, право свободного передвижения, выбора места пребывания и жительства, право на имя, право авторства, иные личные неимущественные права и другие нематериальные блага, принадлежащие гражданину от рождения или в силу закона, неотчуждаемы и непередаваемы иным способом. В случаях и в порядке, предусмотренных законом, личные неимущественные права и другие нематериальные блага, принадлежавшие умершему, могут осуществляться и защищаться другими лицами, в том числе наследниками правообладателя.
2. Нематериальные блага защищаются в соответствии с настоящим Кодексом и другими законами в случаях и в порядке, ими предусмотренных, а также в тех случаях и тех пределах, в каких использование способов защиты гражданских прав (статья 12) вытекает из существа нарушенного нематериального права и характера последствий этого нарушения.

То и сроки исковой давности на восстановление нарушенного такого права не установлены.

Статья 208. Требования, на которые исковая давность не распространяется
Исковая давность не распространяется на:
требования о защите личных неимущественных прав и других нематериальных благ, кроме случаев, предусмотренных законом;

Срок давности по таким требованиям отсутствует

Статья 208. Требования, на которые исковая давность не распространяется Гражданский кодекс Российской Федерации (ГК РФ)
Исковая давность не распространяется на:
требования о защите личных неимущественных прав и других нематериальных благ, кроме случаев, предусмотренных законом;
Статья 150.ГК РФ Нематериальные блага .
1. Жизнь и здоровье, достоинство личности, личная неприкосновенность, честь и доброе имя, деловая репутация, неприкосновенность частной жизни, неприкосновенность жилища, личная и семейная тайна, свобода передвижения, свобода выбора места пребывания и жительства, имя гражданина, авторство, иные нематериальные блага, принадлежащие гражданину от рождения или в силу закона, неотчуждаемы и непередаваемы иным способом.
Статья 151 ГК РФ . Компенсация морального вреда.
Если гражданину причинен моральный вред (физические или нравственные страдания) действиями, нарушающими его личные неимущественные права либо посягающими на принадлежащие гражданину нематериальные блага, а также в других случаях, предусмотренных законом, суд может возложить на нарушителя обязанность денежной компенсации указанного вреда.

Лишним не будет, если проконсультируетесь у профессионального юриста
адвокат-онлайн

Посмотрите здесь, очень подробно описано.
https://www.garant.ru/products/ipo/prime/doc/8690809/