Можно ли вносить изменения в уже готовый бланк какого-либо соглашения между гражданином и каким-либо учреждением?

Статья 9 Федерального закона от 26.01.1996 г. № 15-ФЗ «О введении в действие части второй Гражданского кодекса Российской Федерации», пункт 1 статьи 1 Закона РФ «О защите прав потребителей» предусматривают, что отношения с участием потребителей регулируются Гражданским кодексом РФ, Законом о защите прав потребителей, другими федеральными законами и принимаемыми в соответствии с ними иными нормативными правовыми актами Российской Федерации.

В силу ст. 421 Гражданского кодекса РФ граждане и юридические лица свободны в заключении договора», условия договора определяются по усмотрению сторон.

Статья 433 ГК РФ указывает на то, что Договор признается заключенным в момент получения лицом, направившим оферту (простыми словами - это договор который Вы должны подписать), ее акцепта (это ваше согласие со всеми условиями договора).

Статья 438 ГК РФ говорит о том, что Акцепт должен быть полным и безоговорочным.

Если условия договора не согласованы до конца между его сторонами, то несогласная сторона может инициировать протокол разногласий к навязываемому договору и подписать договор с протоколом разногласий (о протоколе разногласий можно также почитать в ГК РФ).

Все вышеизложенное применимо к обычным договорам.

В Вашем случае Вы привели пример когда должны оказываться услуги медицинские, так сказать.

Договор оказания медицинских услуг является публичным договором.
Что это за штука такая? (возникает у Вас соответствующий вопрос)
А вот и ответ:
Статья 426 ГК РФ говорит о том, что Публичным договором признается договор, заключенный коммерческой организацией и устанавливающий ее обязанности по продаже товаров, выполнению работ или оказанию услуг, которые такая организация по характеру своей деятельности должна осуществлять в отношении каждого, кто к ней обратится (розничная торговля, перевозка транспортом общего пользования, услуги связи, энергоснабжение, медицинское, гостиничное обслуживание и т. п.).

...3. Отказ коммерческой организации от заключения публичного договора при наличии возможности предоставить потребителю соответствующие товары, услуги, выполнить для него соответствующие работы не допускается.

Резюмируя всё вышеизложенное можно сделать вывод о том, что как бы печально это не звучало для медицинской организации, но с Вами должен быть заключен договор в обязательном порядке с вычеркиванием тех условий из договора, с которыми вы не согласны.
В исчерканном в хлам договоре необходимо будет прописать то, о чём сказал Медведко.

Как-то так....

да. от руки юридически можно дописывать или вычеркивать. но силу документ будет иметь только тогда, когда представитель второй стороны (не вы) допишет "с правками согласен" и ФИО подпись дата.
Такиедела.