Можно ли подключить жесткий диск без перезагрузки компьютера

если сервер "настоящий" то он поддерживает "горячее подключение" (все серверные платы уже лет 10 как это поддерживают)
если обычный системник домашний в роли сервера - то придется выключать
-------
ну или остается USB или eSATA использовать

только через ЮСБ контроллер, либо если на нем есть "горячий" eSATA разъем на задней панели.

только внешний (через USB)
либо через док станцию (или переходник SATA(IDE) -> USB), опять же, в качестве внешнего

Валяйте, угробите жесткий диск. Как бы вы этого не желали, но нужно откл комп при подключении устройств подобных жесткому, ОЗУ. Нельзя подключать на горячую.

Я к своему компу подключал на горячую HDD на 500гб (чужой хард форматнуть надо было) он определился и форматнулся нормально. Где то я читал что должен быть включен режим AHCI чтобы нормально поддерживалось горячее подключение. Например есть корпуса со встроенным мобилреком, что подразумевает горячее подключение HDD.

найн !

только внешний через USB

Можно, но только аккуратно, особенно IDE диски. Запускал на горячую IDE-диски, когда ремонтировал первый xBox - пришлось, другого способа не было обойти защиту диска. Все выжило. Сата-диски пару раз включал на горячую - нельзя было комп выключать, а диск по-другому никак не влючить. Все ОК. Если постоянно нужно подключать-отключать - стоит приобрести док-станцию.

Любые САТА- устройства подключаются на горячую влёгкую. С иде-шными хуже, там параллельный порт.
А вообще есть такие вещи как Мобил Рак или док-станция

Если материнская плата поддерживает горячую замену жесткого диска (обычно включается в биосе)

Можно, воткни в жесткий диск провод красненький

Опытный пользователь: 6 лет назад после перевозки компа не получалось не только запустить систему, но и переустановить её, вообще на чёрном экране было: "Нет диска С: \"! Выбора не было, рискнул переставить "на горячую", и удалось переустановить (с уже стоявшим мультизагрузчиком) и запустить XP sp2, sp3 на матплате ASRock ALiveNF5SLI-1394. HDD GigaByte 150 Gb ("родной" загрузочный), 250 Gb (апргрэйженный неинициализированный для самозагрузки). Перецеплял диски прямо на матплате во время работы компа, понимая, что это небезопасно! Сегодня оба прошли тест поверхности зелёным цветом.