Можно ли подключить жёсткий диск от одного компьютера к другому чтобы файлы остались

ни каких проблем быть не должно, даже при подключении на горячую....

После подключения Вашего винчестера на другой системный блок сразу при загрузке системы заходите в БИОС, глазками там глядите на то, чтобы винчестр в БИОСе правильно опознался.

Отключать \ подключать винчестер конечно при полностью обесточенном системнике.

Виндоус сама опознает файловую систему, если Виндоус что-то не понравится - при загрузке появится окошко проверки файлов от Виндоус - лучше не давать отработать этой программе, ничего не делать при этом с винчестером, а снять его, отключить.

Я не против, подключай

Действуй смело и решительно, при выключенных ПК
подключаешь любой свободный шлейф питания и подключаешь интерфейсный кабель
к любому свободному порту, после загрузки системы этот диск появится в списке.
Засада маловероятна, но всё же может случиться, если в BIOS отключены свободные порты. Решается просто, заходишь в настройки BIOS, включаешь.

можно, высветится как дополнительный

Док-стнцию для HDD 3.5" или HDD Box for 2,5" и можете подключать диск при уже загруженной ОС на ПК с хорошим интернетом, загружаете файлы и отключаете внешний диск. Проблемы с форматированием могут быть, если это диск от видеорегистратора или имеет неподерживаемый формат, кроме того, если он отформатирован в FAT, а размер файла, который вы хотите на него перенести имеет размер 4 ГБ и более, то ограничение по размеру файла для данной ФС будут проблемой (NTFS и ExFat не имеют таких ограничений).

если файлы в документах или на рабочем столе то можешь не взять