Можно с ноутбука извлекать батарею и работать без нее?

Категорически нельзя!!! Причин много. Высокая вероятность спалить контроллер зарядки, что не редко бывает, быстрее накроется винчестер (бесперебойники для чего ставят?). Батарея и так не заряжается, и заряжается, когда это требуется, когда батарея просто лежит, она может быстрее портиться, если по долгу не заряжается. Полнозаряженная служит дольше, естественно это бывает только, когда она стоит в буке. Колебания и взбрыки электроэнергии нехорошо сказываются на буке, аккумулятор сглаживает и служит фильтром, особенно защищает бук при поломки самого блока питания.

Можно. Но не нужно (или не стоит). Литиевая батарея не имеет памяти, но зато имеет срок годности (как молоко). Если её не использовать - всё равно испортится. А в работе она даже очень полезна: при пропадании электричества данные не потеряются.
Без подзарядки батарея будет работоспособна примерно полгода, может чуть больше. Потом саморазряд достигнет критической точки и аккумулятор уже не зарядить (т.е. на помойку).

Для сохранности емкости батареи производитель рекомендует зарядить ее до 75% и хранить отдельно, периодически подзаряжая. Питать ноут от сети.
Если часто пропадает электричество или сеть нестабильна то придется держать батарею в ноуте, но 2-3 раза в неделю желательно поработать на аккумуляторе без сети, стобы создать цикл заряд\разряд.
Тогда если приспичит необходимость действительно автономной работы, аккымулятор не подведет.
Я раньше этого не знал, держал аккум постоянно в ноуте и работал от сети, через 2 года, или раньше, без сети ноут уже не работает совсем. А вот нетбук есть, нетяжелый, с ним таскаюсь, и частенько приходится работать на без сети. Аккумулятор до сих пор в нете и офисе 5-6 часов вытягивает. они ровесники, им по 3 года.

А ноут энергию из воздуха будет черпать?

Существует мнение, что нельзя работать с ноутбуком, подключенным к розетке, если вынута батарея. Спрашивал трех различных ИТ-шников. Все трое ответили, что это лишь мнение. Ничего страшного не случится, ноут не перегорит.

у нас так на работе некоторые делают, при этом ставят его на зарядку, чтоб от сети питался ноутбук

можно. и доже нужно. если батарея постоянно подключена к сети, со временем она перестанет держать заряд