Можно ли ставить розетки без заземления в новом многоэтажном доме? Зачем оно вообще в розетках нужно? Для какой техники?

Про защитную роль правильно сделанного заземления Вам уже написали вполне доходчиво. Но заземление, сделанное недостаточно грамотно, может оказаться гораздо опаснее, чем полное его отсутствие.
Дело в том, что в отечественных электросетях отдельного, пятого, провода, совершенно отдельного от "рабочего нуля" и предназначенного специально для заземления, не бывает никогда. Вместо заземления делают "зануление" - на заземляющие контакты не задумываясь заводят нулевой провод трёхфазной сети. Ох, и било же меня током на работе при одновременном касании металлического корпуса научного прибора и отопительного стояка!. . Было это на рубеже 70х - 80х годов. Хотя электрохозяйство нашего НИИ обслуживала целая бригада электриков с инженерным образованием!. .
Наилучшее решение, реально применяемое в наше время - использование УЗО. В этом случае, при пробое на заземленный корпус токи по фазе и по нулю оказываются (немного, от силы на миллиамперы) различны и прибор немедленно автоматически обесточивается. Безопасность это даёт, но внезапное отключение оборудования создаёт свои проблемы. В нашей новой квартире УЗО поставлено одно на всю квартиру - где бы ни возник пробой, отрубается сразу всё, включая холодильник и комп.
Пожалуй, наиболее правильно - это ставить отдельные УЗО перед наиболее опасными приборами. У меня, например, в сетевой провод накопительного водонагревателя Ariston Shuttle УЗО встроено изготовителем. Весьма разумно: ведь если принимаешь душ, а вода в нём оказывается вдруг под напряжением относительно ванны - это, сами понимаете, реализует принцип действия "электрического стула"... Точно так же имеет смысл обезопасить прочие наиболее опасные устройства - хотя бы стиральную машину. Несмотря на то, что каждое УЗО стоит денег.

Заземление делается не для техники, а для защиты ЧЕЛОВЕКА от поражения током в случае попадания фазы на КОРПУС прибора.

Конечно можно. У меня нет заземления в розетках

недавно в городе был случай у нас -молодую женщину убило в ванной когда мылась и стиралка работала (там розетка без заземления) . Остался ребенок.
У вас НОВЫЙ ДОМ С УЖЕ ПРОВЕДЕННЫМ ЗАЗЕМЛЕНИЕМ!! ! Люди в старых домах извращаются чтобы заземлить стиралку и посудомойку, а у вас уже все сделано только нужно купить турецкие или белорусские розетки с заземлением (можно отечественные -не принципиально)
Согласен что в зале и спальне риск поражения током минимален, из за пробоя на корпус так как таких то и товаров нет и нужно рукой еще батареи держаться заземленной, но в ванной, на кухне ОБЯЗАТЕЛЬНО заземление, вам не не выдумывать и поставить розетки с заземлением ВЕЗДЕ!
p.s. раньше в домах не делали заземления, потому что идиоты из госпроекта посчитали сколько уйдет провода на заземление в масштабах страны СССР и решили "съэкономить" -это на полном серьезе. Приняли стандарт этот и всем дома делали без заземления. Это полный идиотизм и этих козлов кто подписал документы расстрелять нужно.

можно если не боитесь поражения током и статическим электричеством

например, если электроплиту, холодильник, посудомойку и другое кухонное оборудование не подключить к этому защитному проводу, то даже без пробоя изоляции, стоя на кафельном полу, можно ощутить пощипывание прикасаясь руками к их корпусу, это наведенное напряжение
---
в случае пробоя изоляции фазный потенциал вместо того, чтобы "уйти" на заземление и вызвать сработку защиты, проходит через тело человека и пока сработает защита в виде УЗО, пострадавший получит серьезную травму, а возможно даже погибнет
---
все изменения в схеме электроснабжения квартиры и последствия с этим связанные, возлагаются на владельца квартиры или, если заключен договор на монтажные работы, электрика