Можно ли кран терморегулятор батареи оставить открытым, или выкрутить его вообще?

Если у Вас "ленинградка" то ей без разницы, насколько открыты термоголовки, её принцип - свободное движение теплоносителя по кольцу от подачи до обратку с затекание в радиаторы без нарушения гидравлики системы при регулировке радиаторов.)))
Вот только термоголовки на однотрубка нужны очень специальные и лучше их вообще не ставить (((
Тем более, когда ТТ котел постоянно требует сброса тепла...
Вашу систему неплохо бы переделать, вариантов много. Один из них - поставить теплоаккумулятор в качестве гидрострелки и питать ленинградку через него.
А вместо хитрых вентилей поставить два шаровых. Один открыть, другим сбалансировать систему, а потом снять с него ручку и открывать-закрывать оставшийся при необходимости, не трогая балансировочный...

Если вы снимите термоголовку . То у вас откроется терморегулятор на полную . И все будет работать как будто его там нет. И ещё если у вас частный дом и свой котёл то лучше просто поставить шаровые краны и этого будет достаточно . А термоговка не нужна вообще это лишняя трата денег

Нет там крана. Термоголовку можно открутить от клапана и он будет всегда открытым.

Вероятно у Вас плохой обдув батарей и нет автоматической регулировки тяги (поддува) в твёрдотопливнике. Или дурацкая система на пластиковых трубочках и минимальном количестве теплоносителя (воды). Или делайте теплоёмкую систему или ставьте накопитель тепла, тонны на 1,5-2

Система будет работать когда Вы снимете кран. А на систему необходимо поставить сбросник пара если котёл закипит. На твёрдотопливных котлах сбросники должны стоять иначе давлением может разрушить : трубу, котёл или радиатор.