При закрытии входной металлической двери нужно ли нажимать на ручку или просто тянуть на себя?

Язычок защелки плотно подогнан к ответной части.. В противном случае в закрытом состоянии будет люфт у полотна - оно будет болтаться...
Так как есть - лучше, но в случае если стоят уплотнители, которые играют роль демпфера..
Если уплотнителей нет, то при открывании язычок будет с усилием выходить из ответной части, что увеличит его износ..

у нового язычок толще?

Двери не из дешевки могут иметь регулируемую ответную планку замка.
При отсутиствии напильником.
Правильное регулировка - замок защелкивается при усилие 4-5кг на дверную ручку. Иначе уплотнени недостаточно прижато и пропускает всякоразное в дом. При правильной регулировке при защелкнутоцй на защелку двери ригели замка не должны соприкасатьсяс ответными отверстиями в коробке, на них не должно бытьт ни каких усилий. В этом положении и надо отпирать/запирать замок. Иначе он выйдет из строя раньше отведенного ему ресурса

Можно, но как выше написали не желательно. Можно напильником увеличить проем куда язычок входит, можно попробовать расточить отверстия самого замка для винтов крепления и сдвинуть замок в нужную сторону. Решение надо по месту принимать, так сложно сказать что лучше. Мне вообще первым пришло в голову - проверить прилиегание двери к коробке. Может что то с верхней петлей...

Если раньше закрывалась нормально а теперь проблемы То просто плюньте на язычек замка\в прямом смысле\ Будут улутшения тогда смажте его