Подсветка LED для полки

Зациклились все на ленте. Это панель, толщина 8мм, драйвер встроен. Остается грамотно врезать и скрыто протянуть провод.

судя по фотке БП внутри полки

Какой к свиньям провод выведен из стены, жить надоело? Для подключения ставится или розетка, или соединительная (распаечная) коробка. А драйвер (адаптер питания) обычно встроен в светильник, лентой здесь и не пахнет. Так что пригласи как ты лучше грамотного электрика, чтобы не пришлось приглашать пожарных или реанимацию.
И ещё, сама полка должна быть вентилируемой, тепла от такого светильника выделяется немного, но вполне достаточно, что бы доставить некоторые неприятности. На картинке вентиляции не видно, и очень похоже, что придумал всё это некий "дизайнер", а собрал баран.

1) БП ставится туда, где он будет хорошо охлаждаться (иначе замучаетесь покупать новый. 2) Светодиодная лента или крепится на торец полки, или крепится на аллюминиевый широкий уголок, который будет загибаться на торей полки. Он необходим для теплоотвода. Если прикрепить ленту под полку, как показано - она прослужит не больше полугода, перегреется и быстро потеряет яркость, а то и выгорит .
Длина провода от БП может быть любой, при условии, что провод с достаточно толстыми жилами. На совсем толстом проводе длина может быть больше километра.

Здесь не нужен драйвер, лента на 220 вольт...

Ну дык блок питания ныкают туда куда он влезет. Если полка сантимов 6 толщиной, то возможно что все влезет за стекло.
А если нет, тогда нужно искать нычку для БП по близости. Может где то на потолке, рядом со светильником, чтоб если что, можно было добраться, или в стене за полкой, типа снял полку и вуаля, нычка с ПБ доступна. Правда у такой схемы есть ограничения, провод от БП не может быть очень длинный.