Где должен стоять электрокотел в системе водяного отопления частного дома, чтобы долго служил и не сгорала тэна?

Где.
обычно в нижней точке системы, ниже центра охлаждения системы как минимум)))
есть тонкости при установке в паре с топливными котлами, которые уменьшают теплопотери через дымоходы этих котлов при их простое и работе электрокотла
Насос совершенно не обязателен, если котёл обеспечивает хорошую циркуляцию внутри себя, то остаётся правильно совместить его с системой.
кстати, без насосов легче автоматизировать балансировку котловых контуров при нескольких котлах...
а вообще, для каждого дома и хозяина свои варианты)))

Нужен насос или нет - зависит от конструкции системы отопления. Если она самоточная - ТЭН должен быть вмонтирован в вертикальную желехную трубу диаметром больше ТЭНа на 50 мм или больше. Труба должна быть выведена до высоты 2 м или больше, должна быть теплоизолирована, и переход на меньший диаметр допускается только после перегиба. Так же необходима труба до расширительного бака открытого типа или до предохранительного клапана сечением от 1 дюйма и больше. 1\2 или 3\4 - неэффективны.
Если отопительная система с принудительной циркуляцией - ТЭНы располагаются в любом удобном месте, но ОБЯЗАТЕЛЬНО в толстостенной железной (или стальной) трубе большого диаметра и таким образом, что бы шлам (накипь) с ТЕНа мог свободно падать и не перекрывал сечение протока. Труба должна труба должна быть железной минимум на 1,5 м в обе стороны (это продлит время безопасной работы ТЭНа при аварийной остановке циркуляционного насоса и система не взорвётся БЫСТРО. ю от закипания и гидроударов. Так же делается аварийный сбросовый клапан в 2-х местах, из верхней точки бака и их верхней точеи системы, трубой от 1 дюйма.
В любом случае необходима автоматика, которая отключит ТЭНы при остановке насоса и при перегреве.

на первом этаже.. на уровне глаз

Котел служит 30 лет, тэны не пострадали, не менялись. В эл. нагревателях вода меняется, наносит "мусор"перегрев, замена. В открытых системах отопления вода одна и та же, циркуляция естественная

вот так без насоса работало, внутри эл. котла обратный клапан самодельный

чтобы не сгорала тэна... его ставят в нижней точке

Электрокотел ставится там же, где любой другой котел. От места установки котла его долговечность не увеличится. Тэны, это расходный материал, долгота их работы зависит от :.
1.качества Тэнов
2.Напряжения в сети ( чем выше напряжение и броски, тем быстрей им капут)
3. От правильности работы котла ( то есть при выключении котла и Тэнов циркуляционный насос должен работать не менее 5 минут, чтобы остыли Тэны. Когда они перегреваются, долго не работают.
4. От количества выключений электроэнергии в вашей подающей электросети. ( При частых отключениях Тэны работать долго не будут.
5.Необходимо периодически проверять целостность Тэнов, так как при выходе из строя одних Тэнов, другие берут на себя нагрузку ( тоесть работают больше и дольше), что приводит их к быстрому выходу из строя.
Ну а насос выключать циркуляционный не нужно вообще, пока работает котел, вы ничего не сэкономите, только быстрей выведите из строя Тэны и попадете на ремонт.