Хочу в ванной сделать розетку протянув кабель от розетки в прихожей.

2.5 мм выбирай медный ГОСТовский

Это опасно и не отвечает требованиям техники безопасности. Во влажных помещениях допустимо устанавливать розетки с напряжением не свыше 36 вольт.

не толще чем подходит к розетке

Что то очень большая нагрузка, стиралка, пылесос( зачем он в ванной??) и фен одновременно!!!! По ПТЭ как минимум нужен разделительный трансформатор. Это такая коробочка, которая жужжит при большой нагрузки. Если узо ставить, тогда только от щитка тянуть в узо нужно заземление. Да и машинке на корпус оно не помешает. Без них, да еще с такой нагрузкой, дело может плохо кончиться. Ударом током, причем не автора изобретения, а кого то из родни его.... Но решать вам. Кабель подбирается по таблицам в зависимости от нагрузки. Их полно в инете. Грубо, сложили мощность всех приборов которые одновременно будут включены в розетку. Если туда они по одному будут включаться, тогда выбрали максимальную. И потом подобрали площадь провода.

2.5/3 достаточно будет.

Для розеток всегда 2,5. И покупай розетку с крышкой. Прямо в ванной лучше не делать. Можно там где умывальник

Проще переноску купить.
В ванной розетки никто не делает
Да и не нужны они там.
Телефон смотреть что ли?

Брать от розетки провод для подключения стиралки плохая идея.
Брать надо с распределительной коробки.
Минимум 2,5 квадрата меди. Если конечно в коробке медь.

Не надо