на каких основаниях полиция может отказать в возбуждении уголовного дела по статье побои?

Статья 24. Основания отказа в возбуждении уголовного дела или прекращения уголовного дела
1. Уголовное дело не может быть возбуждено, а возбужденное уголовное дело подлежит прекращению по следующим основаниям:
1) отсутствие события преступления;
2) отсутствие в деянии состава преступления;
3) истечение сроков давности уголовного преследования
4) смерть подозреваемого или обвиняемого, за исключением случаев, когда производство по уголовному делу необходимо для реабилитации умершего;
5) отсутствие заявления потерпевшего, если уголовное дело может быть возбуждено не иначе как по его заявлению, за исключением случаев, предусмотренных частью четвертой статьи 20 настоящего Кодекса;
6) отсутствие заключения суда о наличии признаков преступления в действиях одного из лиц, указанных в пунктах 2 и 2.1 части первой статьи 448 настоящего Кодекса, либо отсутствие согласия соответственно Совета Федерации, Государственной Думы, Конституционного Суда Российской Федерации, квалификационной коллегии судей на возбуждение уголовного дела или привлечение в качестве обвиняемого одного из лиц, указанных в пунктах 1 и 3 - 5 части первой статьи 448 настоящего Кодекса.
ЗАЧЕМ МУЧАТЬСЯ СТ 24 УПК ВАМ В РУКИ

Оснований более чем достаточно. Ну, например, побоями причинен легкий вред здоровью. Действия виновного подлежат квалификации по ст. 115 ч. 1 УК РФ. Дела такой категории относятся к делам частного обвинения и подсудны непосредственно мировому судье.
Если интересуют подробности, обращайтесь

Если побоев нет

это не ее компетенция, нет события преступления, нет состава преступления и др. пункты ст. 24 УПК РФ

В принципе по регионам различная практика, если действия обидчиков ( при условии, что они установлены) квалифицированы по ч. 1 ст. 116 или ч. 1 ст. 115 УК РФ ( но не по другим частям данных статей) , то в принципе они должны провести проверку, которая включает в себя установления характера и степени тяжести причиненных повреждений и направить материалы по постанволению в соотвествии со ст. 145 п. 3 по подсудности в мировой суд, который в принципе должен Вас известить, что необходимо подать заявление в суд в соотвествии с требованиями ст. 318 УПК РФ, если все это делаете, суд возбуждает уголовное дело и оно непосредственно рассматриваентся мировым судом.
В других регионах делается отказной по другим составам, в том числе по ч. 2 ст. 116 и ч. 2 ст. 115 УК РФ и Вам разясняется право на обращение в мирповой суд. Вы туда идте, пишете заявление ( жалательно с этказного снять копию и акт суд. мед освидетельствования) и указываете, что органами внутренних дел по данному факту проводилась проверка.
Если же лица избившие Вас не установлены, то органы дознания ОБЯЗАНЫ возбудить уголовное дело ( естественно при наличии объективных доказательств факта избиения и получения ВАми телеснызх повреждения, даже и не повлекших вреда здоровтью)