Могут ли завести уголовное дело о побоях, на основании только заявления и снятие побоев.

Теория это конечно хорошо, но это все пустое и мало что имеет общего с практикой, на практике по факту откажут даже если обжалует в прокуратуре и суде. Удачи.

откажут - тем более, что такая девочка уже приобрела определенную репутацию

могут вполне

Могут.

по факту есть побои и доказательство их)) т. е. обязаны, откажут в прокуратуру
а на счет кто и почему должен узнать дознаватель.
халатное отношение к своим обязанностей родителей, что привело к ухудшению состояния здоровья, без попыток его восстановить ...это для родителей сходу) ст. 63 СК РФ в службу опеки

Пфф.. дохлый номер, с Ее задержаниями над ней только посмеются

После того как девушка фиксирует побои, она должна прийти вместе родителями в полицию и написать заявление. После чего ее заявление будет проверяться. Будут проведены опросы сбор доказательств. После чего уже будет приниматься решение о возбуждении уголовного дела или об отказе.
В данном случае речь идет о несовершеннолетней девочке - возьмутся проверять всерьез, даже не смотря на ее поведение.
Основанием для возбуждения уголовного дела может послужить просто заявление, а в некоторых случаях даже заявления не требуется.
И из личного опыта скажу, что уголовные дела, где потерпевшими выступают несовершеннолетние, весьма "опасные" для подозреваемых или обвиняемых. Все структуры как правило встают на сторону несовершеннолетних.

Не пойму причем здесь репутация. Если есть побои и заявление, то роверку все равно проведут, а там... это неизвестно.