Имеет ли право полицейский застрелить преступника на месте преступления ?

Имеет, но только в особых случаях, если просто так застрелит, ни за что, то сам сядет в тюрьму.

При непосредственной угрозе ему

Закон определяет следующие случаи, когда сотрудник полиции имеет право применять огнестрельное оружие:

самозащита или защита других граждан от нападения (нападение при этом должно быть сопряжено с угрозой жизни или здоровью);
защита от попыток завладеть транспортом, оружием или другими средствами либо техникой полиции;
освобождение захваченных заложников;
задержание человека, совершившего преступление, относящееся к тяжким, — но лишь при условии, что других способов задержания нет;
задержание лица, которое сопротивляется с применением оружия (включая холодное) либо отказывается добровольно сдать оружие, взрывчатку, яд или радиоактивные вещества, находящиеся при нем;
отражение нападения на охраняемые объекты;
пресечение попыток побега или освобождения задержанных, находящихся под стражей, или осужденных лиц, конвоируемых полицией.

Кроме того, допускается использовать оружие:
для остановки машины, если водитель пытается скрыться, не останавливается по требованию, при этом дальнейшее движение несет угрозу жизни граждан;
против опасных животных;
для разрушения запоров, если требуется проникновение полиции в помещение;
для предупреждения или подачи сигнала.
Действия перед стрельбой

Для того чтобы соблюсти закон, полицейский:
Сообщает лицам, по которым возможна стрельба, о том, что он полицейский.
Предупреждает, что возможно применение оружия. Допускается предупредительный выстрел в воздух. Закон этого не требует, однако многие полицейские предпочитают его произвести, чтобы при последующей прицельной стрельбе к ним не было претензий со стороны следственных органов. В том случае, если полицейские действуют группой, предупреждение может сделать только один из них (обычно это старший по званию).
Дает время на то, чтобы исполнить законное требование полиции.
В некоторых случаях сотрудник полиции имеет право применять огнестрельное оружие исразу, то есть не предупреждая. Такое возможно, если медлить нельзя, поскольку есть уже угроза здоровью или жизни людей.

Самозащита полицейского
Если есть основания полагать, что потребуется применить оружие, полицейский вправе достать его заранее и приготовиться к стрельбе, фактически еще не открывая огонь. Правда, следует отметить, что в этом случае начинают действовать особые правила.

Поскольку есть риск, что преступник попытается напасть на полицейского и завладеть его оружием, вооруженный и изготовившийся к стрельбе сотрудник полиции вправе потребовать от задерживаемого лица оставаться на месте. Если после такого требования задерживаемый все-таки попытается приблизиться, сотрудник полиции имеет право применить огнестрельное оружие.

при определенных условиях

да

Да, если тот вооружён.

Да, если тот не сдаётся.

1. Сотрудник полиции имеет право лично или в составе подразделения (группы) применять огнестрельное оружие в следующих случаях:
4) для задержания лица, застигнутого при совершении деяния, содержащего признаки тяжкого или особо тяжкого преступления против жизни, здоровья или собственности, и пытающегося скрыться, если иными средствами задержать это лицо не представляется возможным;
5) для задержания лица, оказывающего вооруженное сопротивление, а также лица, отказывающегося выполнить законное требование о сдаче находящихся при нем оружия, боеприпасов, взрывчатых веществ, взрывных устройств, ядовитых или радиоактивных веществ;
6) для отражения группового или вооруженного нападения на здания, помещения, сооружения и иные объекты государственных и муниципальных органов, общественных объединений, организаций и граждан;

5. Запрещается применять огнестрельное оружие с производством выстрела на поражение в отношении женщин, лиц с явными признаками инвалидности, несовершеннолетних, когда их возраст очевиден или известен сотруднику полиции, за исключением случаев оказания указанными лицами вооруженного сопротивления, совершения вооруженного или группового нападения, угрожающего жизни и здоровью граждан или сотрудника полиции.
6. Сотрудник полиции не имеет права применять огнестрельное оружие при значительном скоплении граждан, если в результате его применения могут пострадать случайные лица.

Статья 23 Федеральный закон от 07.02.2011 N 3-ФЗ (ред. от 03.08.2018) "О полиции"

И не только преступников. Например, если ты или я вдруг увидим, как какой-нибудь оборотень в погонах занимается своими тёмными делишьками, он тогда и нас с тобой тоже пристрелит. Да, вот так-то, жизнь - она такая...

А зачем тебе?

Да, если преступник может нанести вред человеку или самому полицейскому, но обязательно должен быть предупредительный выстрел и, вероятнее всего, насмерть нельзя