А если человек признан невменяемым по заключению суда, он не сядет в тюрьму?

Так. Невменяемость суд не устанавливает. Это устанавливает судебно-психиатрическая экспертиза.
Нет такого понятия "сядет в тюрьму". Это не от него зависит.
К уголовной ответственности будет привлечён без назначения наказания с принудительным отбыванием в медицинском психиатрическом учреждении.

Вместо тюрьмы он отправится на принудительное лечение в дурку.

нет

При чём тут суд?

он сядет на принудиловку.

Невменяемость устраняет не только наказание за совершенное в этом состоянии деяние, но и уголовное преследование; она исключает самое понятие преступности; деяние невменяемого представляются случаем, влекущим за собой меры предупредительные, например помещение в психиатрический стационар; но и эти меры являются последствием не совершенного деяния, а обнаружения состояния, требующего особых мер надзора. При доказанности того, что совершившее преступление лицо находится в состоянии невменяемости, уголовное преследование не может быть возбуждаемо, а начатое — прекращается. Невменяемость заменяет уголовную ответственность принудительным лечением. Все есть в УК РФ ст. 21.

Если психическое здоровье человека, совершившего преступление, вызывает сомнение, то следственные органы, прокуратура или суд направляют его на судебно-психиатрическую экспертизу. Судебно-психиатрическая экспертиза — определение психического состояния применительно к различным судебным вопросам о вменяемости, о дееспособности, возможности отбывания наказания, а также о применении тех или иных мер в отношении невменяемых. Признание больного невменяемым исключает его виновность в содеянном, и действие больного квалифицируется не как преступление, а как общественно-опасное деяние. Такие больные по решению суда направляются на принудительное лечение в психиатрические больницы.

в тюрьму вряд-ли, в дурку точно