Остаётся ли судимость, если был признан невменяемым и срок был заменён на принудительное лечение в психбольнице?

Остается, если судимость не снято или не погашено.

Когда во время отбывания наказания лицо заболевает тяжкой болезнью, то суд ВПРАВЕ освободить его от далнейшего отбывания наказания или назначить принудительные меры медицинского характера. Если лицо освобождается от отбывания наказания досрочно (в данном случае из за болезни), то срок погашения судимости исчисляется исходя из фактически отбытого срока наказания с момента освобождения от отбывания основного и дополнительного видов наказаний. Если например за совершение преступления средней тяжести суд назначил лицу наказание в виде 3 лет лишения свободы и после фактического отбывания 1,5 года освободят осужденного от далнейшего отбывания наказания из за болезни, то в данном случае его судимость погашается через 3 года (п. "в" ч. 3 ст. 86 УК РФ). Если суд не освободил, а просто назначил принудительные меры медицинского характера, то один день проведенный в больнице равняется одному дню лишения свободы. В таком случае срок погашения судимости исчисляется с момента окончания наказания. Например суд назначил 3 года лишения свободы за совершение преступления средней тяжести в 01.01.2001.Осужденный фактически отбыл 1,5 года (01.07.2002), а после суд назначил ему принудительные меры медицинского характера. Осужденный находился в больнице в течении 2 лет, то есть до 30.06.2004.В данном случае срок погашения исчисляется с 01.01.2004 и так как преступление является средней тяжести, соответственно судимость будет погашена в 31.12.2006...

Это не судимость.

Нет, не остаётся