Может ли протекать шизофрения без бреда и галлюцинаций?

Да. Может и в скрытой форме протекать.

Шизофрения - это не объективная болезнь, а технический диагноз, смотря какие критерии шизофрении возьмете.
По МКБ - достаточно и эха мыслей, по DSM-V, совершенно мерзкой, американской - критериев гораздо больше, но тоже без бреда возможно обойтись

может.. вялотекущая

Да. Возможна так называемая "вялотекущая форма" шизофрении.
Главным признаком такого типа заболевания.
Является отсутствие социализации пациента.
Т. е. человек ведет себя неадекватно. Не работает, не учится. Не выходит из дома.
Явно неправильно и странно ведет себя с окружающими.
Речь вычурная, с применением научных терминов.
Однако, данное заболевание не приговор.
Возможна длительная ремиссия. Улучшение состояния.

Может, почему нет?

Судя по новостям в интернете, политическим и не только ток-шоу, разным передачам вообще - нет, не может

Смотря какая форма! Параноидальная обычно с бредом, со слуховыми и другими галлюцинациями. Гебефреническая, простая, кататоническая итп – эти виды могут быть без подобного.
Также шизотипическое расстройство может быть без вышеперечисленного – и шизоаффективное, что близко к шизофрении.
Могут быть только негативные симптомы (бред, галлюны - это позитивные), но тогда шизофрения скрытая - и ее сложно распознать и отличить от той же депрессии, например.
А вообще, не стоит в психиатрии концентрироваться на диагнозах, они слишком размыты - и довольно условны.
Если что задавайте вопросы, разбираюсь в этой теме