Почему доктора пишут так неразборчиво?

потому-что не уверены в поставленном диагнозе

Я уже предлагала такой "тест". Поставьте на таймере 12 минут. посадите перед собой друга/подружку, выслушайте внимательно сбивчивый и путаный рассказ о проблемах, задайте уточняющие вопросы, чтобы хоть как-то понять ситуацию, терпеливо подождите, пока с тяжким вздохом не спеша снимутся многочисленные одёжки для осмотра, потом наденутся обратно, потом расскажите обо всём. что Вы увидели, какой предварительный диагноз поставили, какие анализы надо сдать, где-когда-зачм-почему, напишите кучу направлений, назначений, ответьте на вопрос "Ага. мне всё понятно... а теперь расскажите, ЧТО у меня и ЧТО мне делать!"...)) и главное - не забудьте про карточку!! -где должно быть подробно записано всё, что Вам рассказали, всё, что Вы увидели, всё, ч о Вы назначили... ну?? таймер ещё не прозвенел? И ещё при этом помните, что в коридоре Вас ждёт толпа людей, изначально считвающих Вас бездельником и взяточником... Ах, Вы не успели написать карту? Да неужели? Нув тогда после пяти часового приёма оставайтесь, разложив перед собой горку макулатуры, требующей заполнения, и ещё не забудьте про пару-тройку журнальчиков всяческого учёта.
"Упражнение" с другом повторите 18-20 раз подряд. ..А теперь попробуйте восхититься своим замечательным, неповторимым, аккуратным, каллиграфическим почерком...)))

У них главный язык - латынь, который очень портит почерк.

Спешат, устают каждый день кучу бумажек выписывать

Думаешь быстрее, чем пишешь. Диагноз уже машинально пишешь