Беженец из Украины может подавать документы на полис ОМС практически сразу или нужно дождаться получения паспорта?

Полис выдаётся на основании удостоверения ( справки) беженца, которое у вас должно быть . Выдаётся при пересечении границы. Полис формируется со сроком действия до конца текущего года. Дальше видно будет. Дословно в законе сказано так :Лицам, имеющим право на получение медицинской помощи в соответствии с Федеральным законом от 19.02.1993 № 4528 «О беженцах», формируется полис со сроком действия до конца текущего календарного года, но не более срока пребывания, установленного в удостоверении беженца, или свидетельстве о рассмотрении ходатайства о признании беженцем по существу, или копии жалобы на решение о лишении статуса беженца, или свидетельстве о предоставлении временного убежища на территории РФ.
Для формирования полиса ОМС беженцам необходимо предъявить:

удостоверение беженца;
или свидетельство о рассмотрении ходатайства о признании беженцем по существу;
или копию жалобы на решение о лишении статуса беженца в федеральный орган исполнительной власти в сфере внутренних дел;
или свидетельство о предоставлении временного убежища на территории Российской Федерации.

Не переживайте, сейчас всё в упрощённом порядке для вас делается.
У нас - планово - для получения полиса нужен подлинник паспорта и СНИЛСа. Возможно, что на новых территориях или в связи со статусом Вам будет выдан временный полис, по которому можно сразу будет получать полис. А после получения паспорта полис заменят на постоянный. Без медицинской помощи у нас никого не оставляют. Для экстренных случаев всё равно ведь не нужны ни паспорт, ни полис.)

Полис привязан к конкретной поликлинике, поликлиника находится по месту регистрации человека.. Каклам лечиться надо в своей неньки.

Сразу дадут. Временный, затем заменят.