Если есть совместный ребенок, могут ли зарегистрировать брак сразу, а не ждать положенный месяц?

Понятия и перечня уважительных причин в законодательстве нет. Вопрос об этом решается руководителем органа загса исходя из оценки конкретных жизненных обстоятельств и сложившейся практики.
Так, сокращение месячного срока для вступления в брак считается возможным при наличии следующих обстоятельств, требующих более быстрого заключения брака: призыв жениха на военную службу, отъезд кого-то из будущих супругов на длительный срок в командировку, в том числе за рубеж, беременность невесты, РОЖДЕНИЕ РЕБЕНКА В РЕЗУЛЬТАТЕ ВНЕБРАЧНЫХ ОТНОШЕНИЙ, наличие между сторонами фактических брачных отношений и т. п. Безусловно, что некоторые из этих обстоятельств должны быть подтверждены соответствующими документами (например, справками учреждения здравоохранения о беременности, болезни, рождении ребенка, командировочным удостоверением и т. п.) .
С совместным заявлением о сокращении установленного законом срока для заключения брака обращаются сами лица, вступающие в брак (ст. 27 Закона об актах гражданского состояния) .

придется ждать месяц
или предоставить другое доказательство срочности регистрации - болезнь, выход в дальнее плавание и тп

Прочтите ст. 1 СК РФ- При наличии особых обстоятельств /беременности рождения ребенка, непосредственной угрозы жизни одной из сторон и других обстоятельств/ брак может быть заключен в день подачи заявления.

Только при наличии ОСОБЫХ обстоятельств. Совместный ребенок таким обстоятельством не является - ведь он и спустя месяц не перестанет быть совместным...

Могут, если есть свободные места для регистрации.

Нет, вот если бы вы были беременны, то тогда только справка из консультации, заявление в ЗАГС и вы уже супруги!