может ли мать, находясь в разводе с отцом ребенка, поменять фамилию ребенка без согласия отца?

Нет, отец же не лишён родительских прав. Вероятно, выплачивает алименты. Он должен будет уведомлён о желании сменить метрические данные ребёнка и дать своё согласие. Но если есть противостояние и основания для смены фамилии, то можно попытаться сделать это через суд.

В соотвествии со ст. 59 СК РФ по совместной просьбе родителей до достижения ребенком возраста четырнадцати лет орган опеки и попечительства исходя из интересов ребенка вправе разрешить изменить имя ребенку, а также изменить присвоенную ему фамилию на фамилию другого родителя. Если родители проживают раздельно и родитель, с которым проживает ребенок, желает присвоить ему свою фамилию, орган опеки и попечительства разрешает этот вопрос в зависимости от интересов ребенка и с учетом мнения другого родителя. Учет мнения родителя не обязателен при невозможности установления его места нахождения, лишении его родительских прав, признании недееспособным, а также в случаях уклонения родителя без уважительных причин от воспитания и содержания ребенка. Если ребенок рожден от лиц, не состоящих в браке между собой, и отцовство в законном порядке не установлено, орган опеки и попечительства исходя из интересов ребенка вправе разрешить изменить его фамилию на фамилию матери, которую она носит в момент обращения с такой просьбой. Изменение имени и (или) фамилии ребенка, достигшего возраста десяти лет, может быть произведено только с его согласия.
Согласно гл. 7 ФЗ РФ от "15" ноября 1997 года № 143-ФЗ "Об актах гражданского состояния" в соотвествии со ст. 58 лицо, достигшее возраста четырнадцати лет, вправе переменить свое имя, включающее в себя фамилию, собственно имя и (или) отчество. Перемена имени производится органом записи актов гражданского состояния по месту жительства или по месту государственной регистрации рождения лица, желающего переменить фамилию, собственно имя и (или) отчество. Перемена имени лицом, не достигшим совершеннолетия, производится при наличии согласия обоих родителей, усыновителей или попечителя, а при отсутствии такого согласия на основании решения суда, за исключением случаев приобретения лицом полной дееспособности до достижения им совершеннолетия в порядке, предусмотренном законом. Перемена имени лицу, не достигшему возраста четырнадцати лет, а также изменение присвоенной ему фамилии на фамилию другого родителя производится на основании решения органа опеки и попечительства в порядке, установленном ст. 59 СК РФ. Перемена имени подлежит государственной регистрации в органах записи актов гражданского состояния. Согласно ст. 59 вышеназванного закона для перемены имени в орган записи актов гражданского состояния необходимо подать заявление о перемене имени в письменной форме.

согласия отца необходимо. Учет мнения родителя не обязателен при невозможности установления его места нахождения, лишении его родительских прав, признании недееспособным, а также в случаях уклонения родителя без уважительных причин от воспитания и содержания ребенка.

Запросто. По заявлению в отдел опеки. У меня спокойно получилось на свою фамилию.

Мотивированное заявление родителя, у которого проживает ребёнок.
Справка из жилищных органов о совместном проживании или выписка из домовой книги.
Копия свидетельства о расторжении брака.
Копия свидетельства о рождении ребенка.
Заявление с выражением согласия другого родителя, заверенное нотариально, по месту работы (службы) , жительства или написанное лично на приеме в органах опеки и попечительства. Учет мнения родителя не обязателен при невозможности установления его местонахождения, лишении его родительских прав, признании недееспособным, а также в случае уклонения без уважительных причин от воспитания и содержания ребенка.
Заявление с выражением согласия ребенка, достигшего 10-ти лет.

То есть нет.

Пока ребенок несовершеннолетний-только по разрешению отца

ДА! Может!