Я мать одиночка, вышла замуж, как мужу усыновить моего сына?

Самый простой вариант. Идете вместе с мужем в ЗАГС и подаете совместное заявление об установлении отцовства. Но при этом муж должен будет заявить, что это ребенок его. Проверять никто не будет. Но в случае чего взять обратно эти слова не получится. Можно пойти путем усыновления, то есть обратиться в суд с соответствующим заявлением.

либо в ЗАГСе написать заявление о признании отцовства, либо усыновлять - тогда в органы опеки за разрешением. Это более длинный путь.

Если ребенок записан по Вашей фамилии, то с заявлением в ЗАГС об установлении отцовства.

Идете в ЗАГС и он пишет заявление. Ничего сложного.

В аналогичной ситуации мои друзья- юристы поступили очень просто: еще до регистрации брака будущий муж написал в ЗАГСе заявление об установлении отцовства, ребенку сменили фамилию, отчество, выдали новое свидетельство. Просто и благородно!
И ситуация подобная у других знакомых: женщина вышла замуж за вдовца с пятилетним ребенком. И так долго и хлопотно оформляли они усыновление этого мальчика: куча бумаг, суды!

через суд- для начала надо обратится в отдел опеки и попечительства- там вам выдадут список необходимых документов, которые нужно собрать. .
сразу предупрежу- что бегать по всем инстанциям придется лично вам- мужчины, как правило-очень инертны. . а вот в суд придется идти вместе. там нужно ваше согласие.. .
как правило- дольше бумажки собирать. а в суде все проходит очень быстро.. .
сложного ничего нет.