могу ли я бабушка оформить отпуск по уходу за внучкой вместе с ее мамой без оплаты

В целом предполагаем что нет.. . Если с дочкой находиться её мама, то ваша опека не обязательна. Если только мама болеет или находиться в другом городе вот только тогда можно потребовать в письменном виде отпуск без содержания или уход с работы по раньше, в конце рабочего дня. Хотя в целом, ВСЕ мы люди, главное подход, если начальство толковое, то всё поймут и за ВАШ счёт отправят вас в отпуск.

Да, если ваш работодатель вам разрешит. Требовать этого от него вы не можете.

Ну если Ваш работодатель позволит.. . почему бы и нет...

Да, на усмотрение работодателя. Отпуск без сохранения заработной платы.

нет-кто-то один

Навряд ли. Такой отпуск без сохранения зарплаты законом не допускается, он слишком длительный. Однако, если возможность предотавления такого отпуска предусмотреть в вашем трудовом договоре, то он может быть предоставлен.

ТРУДОВОЙ КОДЕКС РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
(в ред. Федеральных законов от 24.07.2002 N 97-ФЗ, от 25.07.2002 N 116-ФЗ, от 30.06.2006 N 90-ФЗ)
(извлечения)

Статья 256. Отпуска по уходу за ребенком

По заявлению женщины ей предоставляется отпуск по уходу за ребенком до достижения им возраста трех лет. Порядок и сроки выплаты пособия по государственному социальному страхованию в период указанного отпуска определяются федеральными законами.

Отпуска по уходу за ребенком могут быть использованы полностью или по частям также отцом ребенка, бабушкой, дедом, другим родственником или опекуном, фактически осуществляющим уход за ребенком.

По заявлению женщины или лиц, указанных в части второй настоящей статьи, во время нахождения в отпусках по уходу за ребенком они могут работать на условиях неполного рабочего времени или на дому с сохранением права на получение пособия по государственному социальному страхованию.

На период отпуска по уходу за ребенком за работником сохраняется место работы (должность) .

Отпуска по уходу за ребенком засчитываются в общий и непрерывный трудовой стаж, а также в стаж работы по специальности (за исключением случаев досрочного назначения трудовой пенсии по старости) .

Именно по уходу уходит только кто-нибудь один, а второй мжет взять отпуск без сохранения зп, но это если согласится работодатель.

Это получится отпуск за свой счет на усмотрение организации