если отец незапланированного ребенка заплатил большую денежку маме его ребенка и не живет в семье,

Когда мама решит подать на алименты - через 5 лет или через 15, тогда она и начнет их получать. Ни за какие 3 года ему платить не придется, если только мама не докажет, что бегала за ним эти 3 года и просила алименты, а он уклонялся: менял телефоны, переезжал, менял работу.

Нет. Только с момента ее обращения в суд. "большая денежка" рассматривается как добровольная уплата алиментов в предыдущие годы

нет, за 5 лет не придется. Так как на основании п. 2ст. 107 СК РФ алименты за прошедший период взыскиваются в пределах трехлетнего срока с момента обращения в суд, если судом будет доказано, что до обращения в суд принимались меры к получению средств на содержание . но алименты не были получены вследствие уклонения лица, обязанного уплачивать алименты, от их уплаты.
Если отцовство принято законно, то вы можете взыскать алименты. а если нет, то необходимо установить отцовство на основании ст. 49 СК РФ.

нет-со дня подачи заявления

Через 5 за пять не получится. За последние три года, с момента подачи заявы в суд.

Статья 107. Сроки обращения за алиментами
1. Лицо, имеющее право на получение алиментов, вправе обратиться в суд с заявлением о взыскании алиментов независимо от срока, истекшего с момента возникновения права на алименты, если алименты не выплачивались ранее по соглашению об уплате алиментов.
2. Алименты присуждаются с момента обращения в суд.
Алименты за прошедший период могут быть взысканы в пределах трехлетнего срока с момента обращения в суд, если судом установлено, что до обращения в суд принимались меры к получению средств на содержание, но алименты не были получены вследствие уклонения лица, обязанного уплачивать алименты, от их уплаты.

Как видите, за пять лет платить точно не придётся, да и за три года ещё стцу обосновать надо.

И вот все сразу кинулись в СК искать, а за какой срок начислят алименты мужчинке?
А с какой, извините, стати вообще с него что-то взыскивать?
То, что отец ребёнка не проживает в семье - не повод для взыскания алиментов. А повод - уклонение его от содержания ребёнка.
А разве в вопросе есть сведения, что он уклоняется? ! Нет!
Наоборот, нам сказано, что он заплатил матери БОЛЬШУ-У-У-Ю денежку!
А насколько большую? Тоже не известно.. . А может размер этой самой денежки полностью перекрывает его 1/4 дохода на много лет вперёд?
Ну и какого ражна на него в суд?
Из сообщённых нам сведений нет никакого резона рассматривать вопрос о взыскании алиментов - ни за прошлое время, ни за настоящее.
Вот дадут дополнительные сведения, тогда и кодексы читать начнём. А так болтовня одна.!

за последние 3 года на момент подачи заявления (срок исковой давности 3 года)

В данном случае существенным обстоятельством является то, каким образом была оформлена выплата той самой "денежки". При наличии расписки в её получении или наличии свидетелей, подтверждающих передачу денег суд может признать такую выплату заключением соглашения об уплате алиментов и внесения по этому соглашению части платежей. В этом случае заявление о взыскании алиментов принято не будет, а будет рекомендовано производить взыскание по заключённому соглашению в порядке исполнительного производства.
Только при отсутствии соглашения об уплате алиментов суд может как исключение из общего правила произвести взыскание алиментов за время, предшествующее предъявлению иска (подаче заявления о выдаче судебного приказа) в суд. Однако алименты за прошлое время могут быть взысканы только в пределах трехлетнего срока с момента обращения в суд.
Суд вправе взыскать алименты за прошлое время лишь в том случае, если установит, что матерью до обращения в суд принимались меры к получению алиментов, но они не были получены вследствие уклонения обязанного лица от их уплаты.
Если таких мер не принималось, алименты будут взысканы со дня подачи заявления.