Нужно ли оформлять опекунство, если ребенок живет с бабушкой?

детский сад может только рекомендовать бабушке оформить опеку над внуком.
Новеллой нашего законодательства является ст 13 ФЗ № 48 Об опеке и попечительстве, которая устанавливает возможность установлении опеки на тот случай, когда по уважительным причинам родители не могут осущесвлять попечение в отношении ребенка. (например в вашем случае) .
Конечно можно оставить ребенка на попечение бабушки, однако не будучи опекуном она не имеет статуса законного представителя и не может защищать интересы ребенка перед третьими лицами.
Установление опеки над ребенком на время отсутствия родителей по их просьбе отвечает интересам ребенка и позволяет обеспечить оперативную защиту его прав и интересов .
С целью установления опеки и на период отсутствия родителей, последним необходимо подать в орган опеки и попечительства заявление о назначении их ребенку опекуна на период их отсутствия. В заявлении должны быть указаны конкретные причины оставления ребенка на попечении иного лица.
Например. В детских садах проводятся проверки, их контролируют, поэтому в случае если необходимо поставить подпись в документе и бабушка сделает это, не имея на это законных оснований, то заведующая будет наказана. Также и в других ситуациях!!!

Ну по идее они правы, путевку в садик бабушка оформить не может, только родители или опекуны. Пусть мать приедет и устроит ребенка в детский сад

В вашим случае Можно оформить опеку в связи с тем, что родитель ребенка вынужден длитльный срок проживать отдельно от ребенка. Вам необходимо вместе с матерью ребенка прийти в орган опеки, где она напишет заявление, что согласна с оформлением опеки. Вам не будут оплачивать пособие по опеки, так как у ребенка есть мать и он не не сирота. При этом вы сможете представлять интересы ребенка и решать любые юридические вопросы вместо родителя.