Когда докажу отцовство,должен ли ребёнок менять свидетельство о рождении на фамилию отца?

Когда в суде будет рассматриватся вопрос о признании отцовства, то так же нужно рассмотерть вопрос вопрос о внесении изменений в запись о рождении ребенка в книге гражданского состоянии в ЗАГСе. так как туда нужно внести запись об отце ребенка.
При этом в суде можно так же сразу рассмотерть вопрос об изменении фамилии ребенка. А можно не рассматривать. Вот если суд постановит переменить фамилию - придется менять.
А если не постановит, то можете не ментяь. но папа, так как он теперь законный отец, может потребовать поменять.
В общем после установления отцовства по любым попросам, касающимся ребенка, придется спрашивать папу и считаться с его мнением.

Нет, только отчество пишется по отцу и собственно сам отец вписывается

Необязательно.

Отчество записывается по отцу и в графу отец делают запись об отце.

Только отчество на его имя, а фамилия может быть либо матери, либо отца.

А смысл?

Чтобы изменить фамилию нужно согласие обоих родителей, если ребенку 14 и старше, то его согласие тоже учитывается, если ему 18, то он вас и спрашивать не будет.

только с согласия отца .если отец не согласен то через суд
в суде согласие отца не обязательно если он уклоняется от уплаты алиментов, не занимается воспитанием ребенка

Может и с другой фамилией остаться....