как правильно происходит процесс установление отцовства (удочерение)?

установление отцовства и удочерение это абсолютно разные понятия. Установление отцовства, через ЗАГС, удочерение через органы опеки и суд. Могу подробнее рассказать об установлении отцовства (сами делали ребенку)

Так все-таки усыновление или установление? Это совершенно разные вещи

Усыновление производится судом по заявлению лиц (лица) , желающих усыновить ребенка. Рассмотрение дел об установлении усыновления ребенка производится судом в порядке особого производства по правилам, предусмотренным гражданским процессуальным законодательством.
Дела об установлении усыновления детей рассматриваются судом с обязательным участием самих усыновителей, органов опеки и попечительства, а также прокурора (СК РФ) .
В случае рождения ребенка у родителей, не состоящих в браке между собой, и при отсутствии совместного заявления родителей или заявления отца ребенка (пункт 4 статьи 48 СК РФ) происхождение ребенка от конкретного лица (отцовство) устанавливается в судебном порядке по заявлению одного из родителей, опекуна (попечителя) ребенка или по заявлению лица, на иждивении которого находится ребенок, а также по заявлению самого ребенка по достижении им совершеннолетия. При этом суд принимает во внимание любые доказательства, с достоверностью подтверждающие происхождение ребенка от конкретного лица (тоже СК РФ, но это другой случай) .

Установление отцовства можно как в добровольной форме через Загс или в судебном порядке на основании ст. 49 СК РФ. п. 3ст. 48 СК РФ -3. Отцовство лица, не состоящего в браке с матерью ребенка, устанавливается
путем подачи в орган записи актов гражданского состояния совместного
заявления отцом и матерью ребенка;

Статья 49. Установление отцовства в судебном порядке

В случае рождения ребенка у родителей, не состоящих в браке между собой, и
при отсутствии совместного заявления родителей или заявления отца ребенка
(пункт 4 статьи 48 настоящего Кодекса) происхождение ребенка от конкретного
лица (отцовство) устанавливается в судебном порядке по заявлению одного из
родителей, опекуна (попечителя) ребенка или по заявлению лица, на иждивении
которого находится ребенок, а также по заявлению самого ребенка по
достижении им совершеннолетия. При этом суд принимает во внимание любые
доказательства, с достоверностью подтверждающие происхождение ребенка от
конкретного лица.

Органы опеки и попечительства непосредственно усыновлением не занимаются. Они дают свое заключение для суда. Усыновление возможно только на основании решения суда.

Устанавливать отцовство можно лишь в том случае, если по документом у ребенка вообще никто отцом не значится (т. е. в свид-тве о рождении стоит либо прочерк, либо отец записан со слов матери) . В добровольном порядке отцовство устанавливается через подачу в органы ЗАГС совместного заявления матери ребенка и отца (будущего). Если нет такого согласия, либо отец ребенка умер, то только в судебном порядке. Тут уже необходимо будет доказывать, что указанный вами человек является (или являлся, если умер) отцом ребенка.
В остальных случаях происходит усыновление.
Усыновить можно, как уже писали выше либо через органы опеки, либо в судебном порядке.

если отец признаёт ребёночка то вы вместе с заявлением в загс, если не признаёт то вы сама с заявлением в суд.