Я мать одиночка, в свидетельстве ребенка в графе об отце его папа почему-то записан под моей фамилией как и мой сын.

Такие правила. Или ставится прочерк или пишется ваша фамилия. Проблем с поездками и не может возикакать

а вы не знаете, как вы ребенка регестрировали в ЗАГСе? работники ЗАГСа по собственной инициативе отца в св-во о рождении не пишут. либо отец приходит и устанавливает отцовство (если родители не расписаны) , либо если родители состоят в браке или с момента развода прошло не более 300 дней, то отец вписывается "автоматически". в этих случаях у ребенка юридически есть отец.
если же в графе "отец" стоит прочерк или отец вписывается в св-во о рождении со слов матери, то вы являетесь матерью-одиночкой, т. к. отцовство юридически не установлено. берете в ЗАГСе справку о том, что отец записан со слов матери и ни каких проблем с выездом за границу и подтвержедением стауса "мать-одиночка" у вас не будет.

Потому что вы числетесь матерью-одиночкой и отца вашего ребенка записали по вашей фамилии. Или лучше, чтобы стоял прочерк?

Что просила, то и получила.

Ну как написали в заявлении в ЗАГСЕ так и заполнили, в чем суть вопроса то?
Берите справку из ЗАГСА, о том, что отец записан со слов матери.

Собственно, а разве не Вы сами заполняли заявление, с которого списали данные о ребенке?

вашей маме зять не нужен?