Скажите, пожалуйста, как лишить пьющую мать родительских прав и оставить ребенка отцу?

если отец не лишен родительских прав, то его права равны правам матери, а значит равно как и мать он может просто забрать себе ребёнка и никаких разрешений суда на использовании своих законных прав папше не нужно. Потом можете сразу и на алименты подать. Лишить родителських прав сложно всегда, а в оссобенности маму, та что я не советовал бы вам слишком надеятся на этот ход. Лучше сделать как я сказал иначе как только мамаша почует что её зажимают судом и суд не в её пользу, то она может просто исчезнуть с дитём и всё. У вас на руках будет лишение её прав, а у неё на руках ребёнок и кто в таком случае в выигрыше?

Документы, подтерждающие, что мать пьет. Какие, вам виднее. Одних ваших слов недостаточно

На основании ст. 69 СК РФ

Если все так, как вы пишете, то причем здесь лазейки. Или что-то нечисто?

При чем лазейки в законодательстве? Есть ст. 69 семейного кодекса. Все обстоятельства должны быть доказаны (ГПК) . Процедура лишения родительских прав судебная с участием органов опеки и прокурора

нужно доказывать в суде, что мать пьет.
Сразу суд прав не лишит.
начать нужно с заявления в комиссию по несовершеннолетним администрации того района, где живет мама с ребенком о принятии к матери мер воздействия. маму вызовут, поругают, поставят на учет.
После этого подается иск в суд об определении места жительства ребенка с отцом, прекращении взыскания алиментов с отца и взыскании с мамы алиментов на содержание ребенка.
Если мама не перестает пить - еще жалоба в комиссию
А потом уж можно в суд с лишением прав.
Уже есть масса доказательств того, что мать ЗЛОСТНО не выполняет обязанности по воспитанию

к шк психологу просить опросить ребенка на предмет выпивок мамы (заяву директору чтоб дать письм заключение)
потом заяву в опеку -что мать неблагополучная и инспектору по делам несовершеннолетних
потом соберите все ответы и в суд

ну.. . если всех пьющих лишать...