Можно ли подать на алименты за три прошедших года с момента рождения ребенка? Отец иностранец без документов, живёт в РФ

Сможете, если докажете, что пытались получить с него средства по содержанию ребенка. Но отец уклонялся от помощи.

снова иск в суд о лишении прав-справку от пристава о задолженности+ о судимости

Увы! Подать то в суд можно. Но вот результат будет никакой. Даже если суд что-то вырешит.
Да и в суд подавать то на кого? Если у человека нет документов - то как вы в суде докажете что он - это именно ОН.
И что он именно отец ребёнка?
В заявлении для суда обязателен адрес проживания (регистрация по месту жительства) , где найти данного ответчика.. . а ведь даже этого нет.

Можно. Но бесполезно, скорее. Ну получите Вы решение суда. А как исполнять будете? Работы (официальной) нет вычитать не откуда, собственности нет, даже выезд за границу не запретишь. Служба судебных приставов и так работает не здорово, а тут и не гражданин РФ, и зацепок нет. Только время, деньги и нервы в суде потратите. А он и являться туда не будет.

А что ДОКУМЕНТОВ совсем нет? Или только на проживание в РФ и работу? Попытайтесь с ним договориться, хоть что нибудь что бы отдавал. Пригрозите сдать ФМС, что он нелегал и его депортируют.

Суд взыскивает алименты с момента обращения в суд.
Три года пролетели незаметно.

Нет такого понятия без документов.... За три прошедших года вам никто не взыщет, только с момента подачи....