Дети, которые взяты под попечительство до 18 лет, имеют ли право претендовать на наследсво лиц, которые их взяли?

да.

согласно статье 1148 ГК РФ
1. Граждане, относящиеся к наследникам по закону, указанным в статьях 1143 - 1145 настоящего Кодекса, нетрудоспособные ко дню открытия наследства, но не входящие в круг наследников той очереди, которая призывается к наследованию, наследуют по закону вместе и наравне с наследниками этой очереди, если не менее года до смерти наследодателя находились на его иждивении, независимо от того, проживали они совместно с наследодателем или нет.
2. К наследникам по закону относятся граждане, которые не входят в круг наследников, указанных в статьях 1142 - 1145 настоящего Кодекса, но ко дню открытия наследства являлись нетрудоспособными и не менее года до смерти наследодателя находились на его иждивении и проживали совместно с ним. При наличии других наследников по закону они наследуют вместе и наравне с наследниками той очереди, которая призывается к наследованию.
3. При отсутствии других наследников по закону указанные в пункте 2 настоящей статьи нетрудоспособные иждивенцы наследодателя наследуют самостоятельно в качестве наследников восьмой очереди.
Отсюда вывод: если подопечный был на иждивении умершего, он получает наследство

Если они усыновлены ими

Усыновленные - да. Под опекой - нет.

По закону нет, если не будет доказано их иждивение не менее года, по завещанию да. При усыновлении никакого договора не заключается, это делается на основании решения суда. Усыновленные дети приравниваются к родным. т. е. точно так же наследуют после усыновителей по закону как и родные дети.

Нет. Опекун не имеет прав на имущество опекаемого, опекаемый не имеет прав на имущество опекуна. Исключение - наследование по завещанию.
При усыновлении дети становятся родными, и тогда уже они могут наследовать.

С чего бы это? Попечитель вообще может быть не родственником и не входить в круг наследников по закону. Усыновитель попечителем быть не может.
Если только по завещанию - завещать можно любому лицу...