Ребёнок с рождения проживает со мной (сейчас ребёнку 10 лет), но прописан у отца, с отцом никогда не жил, алименты не получа

берете справку с места жительства, вот и все доказательства. и снимите ребенка с рег учета у отца. его согласие на это не нужно. просто пишите заявление и все.

да справку из школьного учреждения и детской поликлиники. что фактическое место жительство у Вас

Справка с места жительства.

а зачем, если насчёт квартиры то он у него и тк долю уже имеет. для алиментов есть соседи ну адвокат.

Юридически существует ст 20 ГК РФ, по которой ребенок должен быть за- регистрирован по месту жительства, а оно с Вами. Вы 10 лет не исполняли закон.
Никакие доказательства ни для кого не нужно, бессмысленно.

Надо просто идти в ОФМС (паспортный стол) по Вашему месту жительства с паспортом и свидетельством о рождении ребенка, написать заявление на его регистрацию и снятия с рег. по прежнему месту регистрации (не жительства даже)
У Вашего ребенка и право пользования квартирой отца не возникло, ибо он туда даже не вселялся. Странно, что отец ребенка до сих пор не принял меры, для снятия его с рег. учета. Никаких проблем сделать это через суд у него бы не было
По поводу алиментов. А кто Вам мешает и мешал взыскать их с отца ребенка? Не давал добровольно, есть суд.

А в чем возникли проблемы?

вам лучше поговорить с глазу на глаз с юристом