что нужно, для того, чтобы разведенной матери вывезти своего ребенка за границу?

В соответствии с Законом РФ "О порядке выезда из РФ и въезда в РФ" если несовершеннолетний ребенок выезжает за пределы РФ в сопровождении одного из родителей - согласие второго родителя не требуется.
Согласие второго родителя требуют Посольства некоторых страны (в частности, стран Шенгенского соглашения) не этапе оформления визы.
Удачи!

дальнее или ближнее ?

разрешение папы заверенное нотариусом

Или взять разрешение с Отца или лишить его родительских прав. Больше никаких возможностей нет.

разрешение отца, если он не лишен родительских прав

Если на пмж, то нотариально заверенное разрешение от второго родителя, если в поездку, то ничего не надо, если нет законного отказа на вывоз ребенка, то есть обращения второго родителя в суд, в этом случае вашего ребенка не впустят.

ФЗ "О ПОРЯДКЕ ВЫЕЗДА ИЗ РФ И ВЪЕЗДА В РФ"!
Статья 20. Несовершеннолетний гражданин Российской Федерации, как правило, выезжает из Российской Федерации совместно хотя бы с одним из родителей, усыновителей, опекунов или попечителей. В случае, если несовершеннолетний гражданин Российской Федерации выезжает из Российской Федерации без сопровождения, он должен иметь при себе кроме паспорта нотариально оформленное согласие названных лиц на выезд несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации с указанием срока выезда и государства (государств) , которое (которые) он намерен посетить.
Статья 21. В случае, если один из родителей, усыновителей, опекунов или попечителей заявит о своем несогласии на выезд из Российской Федерации несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации, вопрос о возможности его выезда из Российской Федерации разрешается в судебном порядке.
Порядок подачи заявления о несогласии на выезд из Российской Федерации несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации устанавливается Правительством Российской Федерации.