Как вывезти детей за границу?

В законах пишут одно, а в реальности происходит совсем другое. На авось. Пограничники проверяют, дорогая, через раз, по настроению. У меня такая же ситуация была. Я долго и упорно искала выход. В итоге обратилась в отдел опеки и попечительства (подсказали). Начальник запросила у меня характеристику со школы, должно быть указано .что отец ребёнка не участвовает в воспитании ребёнка .И справку с дет. поликлиники .Свед-во о разводе и ребёнка. Заявление .Проблему решили в течение 3 дней. Получила на руки разрешение, оформленное на меня, если интересует, то напишу подробнее (слова). Я сама звонила в аэропорт и задавала этот же вопрос .Так, что не рискуй, делай обязательно. Надеюсь получиться. Желаю успехов.

Но лучше обратиться в суд с иском о нечинении препятствий во временном выезде за границу для отдыха.
Судебный акт разрешит раз и навсегда Вашу проблему.
Удачи

ну во-первых, на почтовых переводах алименов должен быть обратный адрес. Как это вы не знаете, где отец, если переводы получаете?
Во-вторых, если ребенок едет с матерью, то доверенности не требуется. Статья 20 ФЗ о выезде из РФ
Статья 20. Несовершеннолетний гражданин Российской Федерации, как правило, выезжает из Российской Федерации совместно хотя бы с одним из родителей, усыновителей, опекунов или попечителей. В случае, если несовершеннолетний гражданин Российской Федерации выезжает из Российской Федерации без сопровождения, он должен иметь при себе кроме паспорта нотариально оформленное согласие названных лиц на выезд несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации с указанием срока выезда и государства (государств) , которое (которые) он намерен посетить.

В случае выезда из РФ несовершеннолетнего гражданина РФ совместно с одним из родителей согласия на выезд ребенка за границу второго родителя не требуется, если от него не поступило заявление о несогласии на выезд из РФ своего ребенка, оформленного в соответствии с положениями постановления Правительства РФ .

надо лишитьего род прав за то, что он не занимается воспитанием детей

Чужих только по доверенности