как забрать ребенка, являясь отцом по сути, но не по документам?

Установить отцовство в судебном порядке Вы, конечно, можете.
А насчет всего остального возникают вопросы:
1. Кто /что мешало признать отцовство в момент регистрации рождения?
2. В чем криминал, если ЕДИНСТВЕННЫЙ родитель ребенка оставил ребенка с РОДНОЙ бабушкой на время своего отсутствия? Есть много мест, куда по возможности ребенка лучше не брать, и с бабушкой ему однозначно лучше, чем с посторонним "дядей", оказывавшим маме мат. помощь.
ИМХО

Обращайтесь с исковым в мировой суд на установление факта отцовства, а там уже по определению места жительства ребёнка и решения вопросов по взысканию алиментов.

устанавливать отцовство в судебном порядке, определять место жительства ребенка
НИКАКИХ ТЕСТОВ НЕ НАДО ДЕЛАТЬ ДО СУДА. и вообще эти вопросы надо решать с реальными специалистами - опекой, юристами. хотя бы для того, чтобы не видеть дебильных советов вроде предыдущего

во-первых, без назначения суда ДНК-тест делать не нужно, т. к. суд все равно не примет его и назначит повторно.
Порядок действий - подаете иск в суд об установлении отцовства. Ответчик - мать ребенка. Мнение органов опеки при этом не интересно, т. к. Вы не усыновляете и не опеку устанавливаете, а подтверждаете биологическое родство. Суд сам назначит ДНК-экспертизу, после которой (если она подтверждается) можете взыскать расходы на все судебные издержки с матери.
Ну, а после этого начинаете тяжбы с матерью об определении места жительства ребенка с Вами. Вот тут выиграть Ваши шансы невелики.

Обращаться нужно действительно в суд с иском об установлении отцовства, только не к мировому судье, а в районный... Это их подсудность...

никак

идешь в суд, там назначат экспертизу, что бы доказать что ты не левый какой-то, позже органы опеки назначат проверку, проверят достаточно ли у тебя условий, ну и суд вынесет решение, ну а я на твоем месте подал бы еще иск на женщину, раз свалила, нельзя так делать, короче в первую очередь наверное даже иди в органы опеки, и там проконсультируйся, просто если у тебя все нормально, то возможно и без суда обойдется

Ну тест днк есть как начало.

Попробуй подать в суд, с тестом на отцовство. Можешь натравить органы опеки на жену, что она свалила. А потом усыновить

Нужно сделать тест ДНК потом подать иск в суд но не нужно забывать что суд 80% остовляет детей с матерью по этому ты должен доказать что она ведет какой то вредный для жизни и психики ребенка образ жизни, также ты должен предоставить суду доказательства твоей состоятельности (прописка, фотографии дома по комнатам, документы что ты где-то работаешь ) и лучше не пороть горячку и не делать все в один день, лучше основательно подготовиться, и не стоит забывать о козырях жены и найти оправдание

днк наверное докажет что ты его отец а дальше наверно судом.