Отец отказался от своих родительских прав, но вот в чем вопрос нам сказали, что он может подать и снова стать отцом

вероятно отец признал иск о лишении его родительских прав.
восстановится в правах он может. Если устранит причины, по которым был лишен родительских прав. Восстанавливаться нужно будет судом

Он подписывает согласие на то, чтобы его ребёнка усыновил другой человек. А до того обязан содержать своего ребёнка. От алиментов это не спасает. Лишает родительских прав суд и присуждает выплачивать алименты, пока ребёнок не усыновлён другим человеком. Восстанавливает права тоже суд. Но там нужны миллионы справок, свидетелей и доказательств. Это не просто.

СК не предусматривает такое действие, как отказ от родительских прав. Уточните, что все-таки было.

отказ от родительских прав не предусмотрен законом
суд может лишить родительских прав

В течение полугода. Но вроде твое мнение должны учитывать...

Мой БМ летом 2016 года оспорил отцовство, а недавно подал заявление в суд о восстановлении отцовства. Сделано это было после осознания бывшим мужем правовых последствий оспаривания - ведь наличие ещё одного ребёнка (от которого отказался) даёт много преимуществ так называемому "отцу" и его новой семье. Преимуществ, которыми не пользовался и не будет пользоваться "отказник"...

В РФ не предусмотрен отказ от отцовства, материнства и т. п. Вообще. Даже формы такой нет. Если отец говорит "не хочу быть отцом!", это не значит, что юридически он им быть перестал. Если же человек лишен родительских прав, то он может их восстановить, если докажет, что основания, по которым он был лишен, исчезли.