Как быстрее происходит лишение отца родительских прав

Само собой быстрее добровольно

Не существует никаких "отказов отцы", это законом не предусмотрено. И "по воле матери" родительских прав не лишают. Должны быть законные основния, все причины, когда родитель может быть лишён родительских прав, чётко прописаны в семейном кодексе. Так, что исключительно по вашей прихоти прав не лишат. Доказывайте, что алкаш/псих/наркоман представляет опасность для ребёнка, что папаша злостно уклоняется от родительских обязанностей

Ребенок не чемодан- от него нельзя отказаться.... и выбросить...

Но можно дать согласие на усыновление иным

Отказ от родительских прав не предусмотрен ФЗ. Через суд лишают родправ или нотариальное согласие н а усыновление или удочерение которое через суд потом происходит.

Что значит " тут формально отказ " ? Задайте вопрос корректно .Отец записан в свидетельстве о рождении? Вы пишете, что " по факту он папа " .Ситуацию проясните .

Отказ от ребенка не освобождает от обязанностей родителя. И не дает ребенку статус сироты.
Даже если ребенка оставляют в роддоме, в течении полугода, если ребенок не усыновлен, родителей лишают родительских прав и взыскивают алименты.
Лишение родительских прав в любом случае происходит в судебном порядке. Ускорить этот процес папа может, если признает в суде иск о лишении его родительских прав -то есть согласится. что он алкоголик (наркоман), Действительно не занимается ребенком, материально его не содержит.
При этом лишение родительских прав не освобождает от обязанности платить алименты.
По этому - вы не написали -зачем вам это нужно.
Возможно есть иные пути решения вашей проблемы.

Лишение род. прав - это наказание. Формальным по причине чьей-то хотелки его не может быть. Весь перечень оснований для лишения род. прав изложен в ст. 69 СК РФ.
Лишение род. прав не освобождает от родительских обязанностей ( в т. ч. по содержанию ребенка). И имя отца в любом случае остается в свид-ве о рождении ребенка.
НЕ ПУТАЙТЕ с отменой отцовства!

а смысл? прав лишат, а обязанности по содержанию останутся до тех пор, пока ребенка не усыновят. так что алименты будешь платить.

Лишение- это наказание, перечень причин "за что" в Законе. Обязанности остаются.