На основании какого закона можно взыскать долг? (см. пояснения вн.)

Учет не при чем. Так сразу сказать нельзя, надо знать, какие еще документы были, подтверждающие поставку. Не согласны с решением - обжалуйте

Получается Вы не предоставили суду надлежащих доказательств, а потому и не признан долг. Каким же образом Вы передали материальные ценности? И кому? У представителя той организации должна быть доверенность, Вы наверняка на неё ссылались, выписывали ТТН, или акт приёмо-передачи, что у Вас там было. Если есть какие-то подписи и судом отказано, но есть конкретное лицо, получавшее товар, то прямой путь в милицию по факту кражи. Пусть теперь он ищет пятый угол с этим имуществом. Ибо если организация не одобряет сделку совершенную её работником, то эта сделка считается совершенной этим работником. Пусть этот человек всё и возмещает. А ему такое не понравится, он обязательно укажет на настоящего хозяина.

Если суд вынес решение об отказе в иске, то с ответчика по данному иску взыскать ничего нельзя. Надо списывать в убыток этот долг. Ничего более конкретного сказать нельзя, потому что нет информации.

это в ГК

Что значит по учету? )
Какое дело кому у кого там какой учет ведется? )
И очень странно что суд признает без оттиска и расшифровки подписи документ недействительным. Такое встречал только в отношении товарной накладной - где оттиск обязателен. В остальных случаях - законодательство его нигде прямо не требует.