Должна ли я оплатить свою задолженность банку, с которым у меня нет договора?

Должна, права кредитора перепроданы и это обычное дело. Другое дело, что в суде истец банк должен будет доказывать это документально....

в тот банк, где ваша задолженность нужно внести деньги)

поделите вопрос на две части. оплатить задолженность Вы обязаны. кому платить - стоит уточнить
в любом случае, если Вы не получили уведомлений о замене кредитора, Вы должны платить первому

Это не от банка приходят, а от коллекторов. Они передали Ваш кредит им. Что только усугубляет ваше положение.

Исполнение обязательств должно осуществляться надлежащему лицу (ст. 312 ГК РФ).

Должник вправе требовать от лица, требующего возврата долга, доверенность, подтверждающую полномочия; если банк-кредитор уступил право требования по кредитному договору коллекторскому агентству (или другому банку) - копию договора уступки права требования (цессии).

Согласно абз. 2 п. 1 ст. 385 ГК РФ должник вправе не исполнять обязательство новому кредитору до предоставления ему доказательств перехода права к этому кредитору, за исключением случаев, если уведомление о переходе права получено от первоначального кредитора.

Само собой Вы обязаны оплачивать СВОИ законные долги, а то ишь кредитов понаберут и думают им все бесплатно с неба сыпется и ничего платить не надо, подожди скоро коллекторы придут долги выбивать, а не только звонить будут

Верно тут пишут, Вас непременно в письменной форме Ваш первый банк должен был уведомить о переуступке права требования. Платить по реквизитам в СМС нельзя ни в коем случае, не докажете потом, что платили, кому положено. На отправителей смсок можно в полицию заявление написать о мошенничестве. Будут ещё вопросы, пишите в лс.

ненужно бояться если брали деньги через банкомат тогда требуйте пусть предоставят ваши отпечатки когда вы пользовались банкоматом они для начало пусть установят сканеры для определения хозяина карты а потом требуют все остальное зто косвенные улики они нерасматриваются судами.