По какому правилу пишется "do"?"What movie do you want to watch?"

Глагол do может быть как смысловым, так и вспомогательным. Будучи смысловым, он имеет перевод «делать».
В качестве вспомогательного он помогает строить предложение в соответствии с правилами грамматики и не имеет собственного перевода.
Do как вспомогательный глагол нужен, чтобы задать вопрос или сформулировать отрицание в Present Simple. Если речь идет о he/she/it (3 лицо единственного числа), используется does.

По правилу Present Simple

Do- в этих предложениях употребляется в качестве вспомогательного глагола для образования вопросительной формы настоящего простого времени и НЕ ПЕРЕВОДИТСЯ

В вопросительных предложениях в инглишe одно вопросительное слово, более важное, следует за другим. В данном случает за What следует Do. Меж вопросительными словами никогда не должно быть подлежащего (я, ты, он, она, чьё-то имя).
Do you want to see this movie? – Ты хочешь посмотреть этот фильм?
Чтобы просить немного иной вопрос: «Что ты хочешь посмотреть?», присобачим впереди what.
What do you want to see?

Написать: «What you want to seе» будет неправильно.

Чтобы уточнить, что посмотреть именно фильм:
«What movie, do you want to watch?» – You (главное подлежащее) между what и do не ставится.

«What movie, you do want to watch?» – было бы неправильным.

Какая-либо часть речи (в данном случае существительное – фильм, movie), имеет отношение к первому вопросительному слову и приклеено к нему.

What else do you want? – Что ещё ты хочешь? Частица else приклеена к вопросительному слову.

What beautiful things! Do you like? – Какие красивые вещи! Ты хочешь?