Что случилось с моими перцами? Чем заболели? Чем побрызгать?

Это типичное проявление действий персиковой тли. Избавится от неё крайне трудно – она поселяется с обратной стороны листа и при опрыскивании погибает только её часть.
Одновременно с перцами надо обработать комнатные цветы, тля и на них поселяется.
Если вредителей много лучше применить инсектициды: актеллик, децис, инта-вир, кинмикс, циперметрин, фитоверм, фьюри, моспилан, искра, шерпа, регент, актара, карбофос, фуфанон и другие, в соответствии с прилагаемой к ним инструкцией.
Необходимо помыть окна и подоконники, где стоит перец, с порошком.
Я развожу препараты и аккуратно окунаю растение в раствор, стволики тщательно опрыскиваю. Обработку обязательно повторить через 5-6 дней.
Против летающих особей развешивают клеевые ловушки. Желто-оранжевый цвет привлекает тлю и они прилипают к липучкам.

Когда тли уже будет мало можно бороться растительными настоями или отварами. Их готовят из: бархатцев (1 стакан) , борщевика (100 г свежего) , шелухи лука репчатого (1 литровая банка) или луковиц лука репчатого (30 г) , картофельной ботвы (120 г) , корней конского щавеля (30 г) , корок цитрусовых (100 г) , цветков пижмы (80 г) , одуванчика (травы 60 г, корней 40 г) , листьев ольхи (100 г свежих) , полыни (80 г) , ромашки аптечной (100 г) табака (40 г) , тысячелистника (80 г) , софоры (40 г) , чистотела (40 г) , порошка горчицы (10 г) . Сухое сырье, в указанных количествах (свежее в двойном размере) , заливают 1 литром воды и настаивают двое суток или кипятят 15 минут, поцеживают и применяют. Растения опрыскивают одним из настоев 3-4 раза с интервалом в 5-6 дней. Каждый раз готовят новый раствор. Эффективно обмывание заражённых растений раствором зелёного калийного мыла (20 г на 1 л воды) .

Сосущие. возможно, в сочетании с вирусами, разносимыми сосущими.
Химических препаратов много. Но вам ведь тоже этим дышать.
Это в теплице так можно, а не на подоконнике.

Самые безобидные помошники-божьи коровки и им подобные .

Крепкий раствор мыла почаще, фитоверм.

А уж после пересадки можно что-то покрепче. Эффективна актара.
Ею можно опрыскивать и под корень поливать.

Похоже на что-то сосущее, проверьте на наличие трипсов, клещика. Обработайте на всякий случай чем-нибудь типа инта-вира. Рассада у Вас крепкая, должны хорошие листочки пойти.
Случайно удобрением не поливали недавно? И от избытка может быть. В грунт высадите направятся.

избыток азотного состава почвы вызывает грибковые болезни и привлекает насекомых. у вас явный вредитель. обработайте и через листья слабым раствором полейте суперфосфатом. лист с обратной стороны мойте