Можно ли сажать боковые побеги вишни, абрикоса, сливы для дальнейшего роста и плодоношения?

Боковые корневые побеги? Сажать можно. Но что вырастет неизвестно. Саженцы могли быть на подвоях других деревьев и корневая поросль пошла от подвоя, а не от вашего абрикоса.

Корнесобственные -легко. Я так соседскую вишню посадила, со старой дачи родительскую сливу перевезла. Но если они были привиты, то 50 на 50. Приживутся и будут плодоносить, но не факт, что передадутся свойства родителя. Про грецкий орех не знаю, не выращивала

Да, конечно!

у нас обновились нормально плодоносила вишня

Если материнское растение корнесобственное, то можно. Если привитое, то читайте ответ Себастьяна Сальгадо. Если вы ТОЧНО не знаете родословную историю старых деревьев, но вам нравятся их плоды, то можно сделать прививку черенков из них на новые подвои и не ждать когда старые деревья умрут. Молодые будут расти на замену старым.

У нас была летняя яблоня с очень вкусными сочными плодами. Но после 25-летнего плодоношения стала отмирать. Тогда выбросила две дочки. Одну удалили, а вторая выросла и стала давать такие же плоды. Но сосед рядом с ней посадил абрикоску и уже дочка спустя15 лет стала "убегать " от абрикоса и болеть. Два года назад она сама дала 2 дочки. Одну мы удалили, а вторая выросла большой. В этом году цвела, ждем плодов. А ее "мама" еще жива, цвела и надеемся на плоды. Хотя, наверное, ее надо срезать.

я думаю лучше из питомника взять сортовые.