Нужно решение до завтра, помогите пожалуйста

Для решения данной задачи нужно воспользоваться свойствами вписанной окружности и равнобедренной трапеции.

1. Поскольку трапеция НРКТ равнобедренная, то НТ = РК.
2. Пусть О - центр окружности, тогда OF - радиус окружности.
3. Поскольку EX - высота трапеции, то FX - медиана трапеции, проходящая через центр окружности О.
4. По свойству медианы в треугольнике PFX: FX = 2 * PX.
5. По свойству касательной и хорды: PX * PH = FX * FH.
6. По свойству вписанного угла: угол PFX равен половине угла LPHX.
7. По свойству равнобедренной трапеции: угол NHT равен углу KRT.

Используя эти свойства, получаем систему уравнений:

FX = 2 * PX
PX * PH = FX * FH
угол PFX = 35°
угол NHT = угол KRT

Заметим, что треугольники PFX и PHF подобны по двум углам, поэтому:

PH / FX = FH / PX

Из первого уравнения системы следует, что FX = 2 * PX, поэтому:

PH / PX = FH / (2 * PX)

PH = FH / 2

По свойству медианы в треугольнике PHF:

PH^2 + FH^2 = PF^2

Подставляем PH = FH / 2 и получаем:

5 * FH^2 / 4 = PF^2

По свойству вписанной окружности:

PF = 2 * OF

Подставляем в предыдущее уравнение и получаем:

5 * FH^2 / 4 = 4 * OF^2

FH^2 = 16 * OF^2 / 5

Из уравнения PH / PX = FH / (2 * PX) следует, что:

PH / PX = sin(NHT) / sin(PHT)

PX = PH * sin(PHT) / sin(NHT)

Из свойства косинусов в треугольнике НТК:

cos(NHT) = (NT^2 + HT^2 - NK^2) / (2 * NT * HT)

cos(NHT) = (NT^2 + HT^2 - NR^2) / (2 * NT * HT)

cos(NHT) = (NT^2 + (NR - HR)^2 - NR^2) / (2 * NT * (NR - HR))

cos(NHT) = (NT^2 - 2 * NR * HR + HR^2) / (2 * NT * (NR - HR))

cos(NHT) = (NT - HR) / NT

sin(NHT) = sqrt(1 - cos(NHT)^2)

sin(NHT) = sqrt(1 - (NT - HR)^2 / NT^2)

sin(NHT) = sqrt((NT^2 - (NT - HR)^2) / NT^2)

sin(NHT) = sqrt((2 * NT * HR - HR^2) / NT^2)

Аналогично, из свойства косинусов в треугольнике РКТ:

cos(PHT) = (RK^2 + KT^2 - RT^2) / (2 * RK * KT)

cos(PHT) = (RK^2 + (NT - HR)^2 - (NR - HR)^2) / (2 * RK * (NT - HR))

cos(PHT) = (RK^2 + NT^2 - 2 * NT * HR + 2 * NR * HR) / (2 * RK * (NT - HR))

sin(PHT) = sqrt(1 - cos(PHT)^2)

sin(PHT) = sqrt(1 - (RK^2 + NT^2 - 2 * NT * HR + 2 * NR * HR)^2 / (4 * RK^2 * (NT - HR)^2))

Подставляем найденные значения в уравнение PH / PX = sin(NHT) / sin(PHT):

PH * sin(PHT) / sin(NHT) = RK * KT / HT

FH / 2 * sin(PHT) / sin(NHT) = RK * KT / (NT - HR)

FH / 2 * sin(PHT) / sqrt((2 * NT * HR - HR^2) / NT^2) = RK * KT / (NT - HR)

FH / 2 * sin(PHT) * NT / sqrt(2 * NT * HR - HR^2) = RK * KT * sqrt(NT^2) / (NT - HR)

FH / 2 * sin(PHT) * NT / sqrt(2 * NT * HR - HR^2) = RK * KT * NT / (NT - HR)

FH / 2 * sin(PHT) * (NT - HR) = RK * KT * sqrt(2 * NT * HR - HR^2)

Подставляем найденные значения FH^2 = 16 * OF^2 / 5 и PX = PH * sin(PHT) / sin(NHT):

8 * OF^2 / 5 * sin(PHT) * (NT - HR) = RK * KT * sqrt(2 * NT * HR - HR^2)

Подставляем найденное значение FH^2 = 16 * OF^2 / 5 в уравнение PH^2 + FH^2 = PF^2:

PH^2 + 16 * OF^2 / 5 = 16 * OF^2

PH^2 = 64 * OF^2 / 25

По свойству медианы в треугольнике PFX:

PX^2 = (PH^2 + PF^2) / 2 - FX^2 / 4

Подставляем найденные значения PH, PF и FX:

PX^2 = (64 * OF^2 / 25 + 16 * OF^2) / 2 - (4 * OF)^2 / 4

PX^2 = 12 * OF^2

По свойству косинусов в треугольнике PFX:

cos(PFX) = (PX^2 + FX^2 - PF^2) / (2 * PX * FX)

cos(PFX) = (12 * OF^2 + 4 * OF^2 - 16 * OF^2) / (2 * PX * 2 * OF)

cos(PFX) = OF / PX

Подставляем найденное значение PX:

cos(PFX) = OF / sqrt(12 * OF^2)

cos(PFX) = 1 / (2 * sqrt(3))

PFX = arccos(1 / (2 * sqrt(3)))

PFX ≈ 30°

Ответ: угол PFX ≈ 30°.

Забей