можно потребовать прописать без оплаты штрафа?или уменьшить штраф

Статья 19.15.
1. Проживание по месту жительства или по месту пребывания гражданина Российской Федерации, обязанного иметь удостоверение личности гражданина (паспорт) , без удостоверения личности гражданина (паспорта) или по недействительному удостоверению личности гражданина (паспорту) либо без регистрации по месту пребывания или по месту жительства -

влечет наложение административного штрафа в размере от одной тысячи пятисот до двух тысяч пятисот рублей.

ПРАВИЛА
РЕГИСТРАЦИИ И СНЯТИЯ ГРАЖДАН РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
С РЕГИСТРАЦИОННОГО УЧЕТА ПО МЕСТУ ПРЕБЫВАНИЯ И ПО МЕСТУ
ЖИТЕЛЬСТВА В ПРЕДЕЛАХ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
16. Гражданин, изменивший место жительства, обязан не позднее 7 дней со дня прибытия на новое место жительства обратиться к должностным лицам, ответственным за регистрацию, и представить:... .

______________
Т. к. ребенок несовершеннолетний, регистрировать его должны родители.

Вы были обязаны обратиться с заявлением в течение 7 дней, НЕ "после рождения", а со дня ПРИБЫТИЯ на новое место жительства. Законом срок прибытия никак не установлен и когда вы прибыли - никто не знает.
Нафига вы во всем сознались? И вообще был ли протокол и постановление? Если не было - забейте.
Если протокол был - то обязаны оплатить штраф в течение 30 дней + есть 10 дней на обжалование.

Документы обязаны принять в день обращения, так предписывает Регламент по регистрации, иначе чиновникам штраф по ст. 5.59 КОАП РФ до 10 тыс. рублей.

Либо посылайте документы заказным письмом с уведомлением, либо пишите жалобу в прокуратуру.