Правда ли, что если в кваритре прописан ребенок с отцом, то при выписке отца, ребенок тоже автоматически выписывается?

Зависит от возраста ребенка: малолетний - до 14 лет - может быть зарегистрирован ТОЛЬКО с кем-то из родителей (или с обоими) , после 14 и до 18 лет возможна регистрация ребенка с бабушками-дедушками или др. близкими родственниками.
Поскольку Вы не указали возраста ребенка - однозначно сказать сложно.
Но в моей практике была ситуация, когда мать с регистрации сняли, в квартире остался зарегистрированным ребенок 11 лет со своим дедом (в паспортной службе прохлопали) .
В любом случае автоматически ребенка никто не снимет с регистрации, просто отца могут не выписывать, склоняя к одновременному снятию с учета вместе с ребенком.
Сходите в органы опеки и попечительства Вашего Муниципалитета - обсудите свою проблему там, и, возможно, Вы найдете выход из сложившейся ситуации.

Место проживания детей - с одним из родителей. Но ничего не делается автоматически

Неправда.

Да, правда.

Нет не правда

не всегда. есть много случаев, когда регистрацию несовершеннолетнего нельзя анулировать.

Абсолютная правда.

нет слова автоматически в юридических вопросах НЕТ... !
Ребенка без отца оставить не должны-вернее, отца не выпишут без ребенка, тем более 5-летнего.. .
а то, что бывают исключения-сотрудники ЖЭКА из дворников, бывае, в паспортистки оформляются-то это ляпсусы-на них основываться нельзя.

это два разных человека. каждый из них имеет прописку. никто из них автоматически не выписывается из-за другого.

Нет, не правда.