могут прописать ребенка при рождении по месту прописки отца,если он прописан не там где живет?

Без согласия могут зарегистрировать по месту жительства одного из родителей. а живет фактически или нет это другой вопрос.

Да, несовершеннолетний ребенок, в т. ч. новорожденный, может быть "поописан" ( правильно - зарегистрирован) в жилом помещении по месту регистрации ЛЮБОГО из родителей, при чем НЕЗАВИСИМО от согласия собственника жилья (в муниципальной кавртире НЕЗАВИСИМО от согласия проживающих (зарегистрированных) в этой квартире) .
Местом жительства несовершеннолетнего (до 14 лет) ребенка признается место жительства его родителей (п. 2 ст. 20 ГК РФ) .
При раздельном проживании родителей место жительства детей устанавливается соглашением родителей (п. 3 ст. 65 СК РФ) .
Обязанность (и право) регистрации любого гражданина в конкретном жилом помещении возникает только при наличии (или возникновении) права на проживание в этом помещении (но НЕ наоборот) .
Это означает, что органы ФМС ОБЯЗАНЫ регистрировать ребенка пр месту регистрации любого родителя по его Заявлению, а проверка наличия соглашения между родителями НЕ относится к компетенции ФМС и отказ в регистрации ребенка по такому основанию ПРОТИВОЗАКОНЕН.
Фактическое проживание кого-либо из родителей и/или детей не по месту регистрации (без регистрации) - это уже вопрос из другой "оперы" и относится прежде всего к административным правонарушениям (когда и если удается доказать) .
Удачи

можно все при согласии матери. Мой ребенок прописан по месту регистрации отца. Живем мы в другом месте и ничего

Могут присогласии собственника жилого помещения. Но согласие матери будет учитываться. Если ребенок уже прописан, можно изменить месть регистрации, на новое.

Могут по заявлению отца в ФМС.

Ребенок прописывается по месту регистрации матери.